Se la recorre de $f(x) = \frac{3}{2-x}$ delimitada?

Question

Deje $\displaystyle u_0=\frac 32$ $\displaystyle u_{n+1} = \frac{3}{2-u_n}$

Es $(u_n)$ delimitada ?

Desde $f(x) = \frac{3}{2-x}$ no tiene ningún punto fijo, $(u_n)$ no converge.

La observación con un equipo sugiere que esta secuencia no está delimitado. De hecho, parece que hay términos que se acerquen a $2$ $n$ crece. (e.g $u_{829}\approx 2.001)$

Es allí una manera de probar esto formalmente ?

No he sido capaz de hacer un progreso significativo con esta pregunta, por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

Progreso: con $\alpha = 1 + \frac{i}{2\sqrt 2}$$\theta = \arg (1+i\sqrt 2)$, he demostrado que $$u_n = \sqrt 3 \frac{\operatorname{Re}(e^{i(n-1)\theta} \alpha)}{\operatorname{Re}(e^{in\theta} \alpha)}$$

Es eso bueno ?

Answer 1

No, la recorre de $f$ son no acotados. De hecho, son densos en la recta real. Una buena manera de ver esto es para ver la función de $f(z)=3/(2-z)$ como una transformación de Möbius en el plano complejo. Una técnica general para la comprensión de la iteración de este tipo de función se describe en la Sección 1.2 de la Iteración de Funciones Racionales por Alan Beardon.

Cuando se ve en este contexto más amplio, $f$ tiene dos puntos fijos, es decir,$z=1\pm\sqrt{2}i$. Podemos simplificar $f$ mediante la conjugación con la función $$\varphi(z)=\frac{z-1+i \sqrt{2}}{z-1-i \sqrt{2}}.$$ Tenga en cuenta que $\varphi$ envía un punto fijo de $f$ a cero, el otro punto fijo de $f$$\infty$, y los mapas de la línea real en un círculo con el punto $$\varphi(0)=\frac{-(1-\sqrt{2}i)}{-(1+\sqrt{2}i)}.$$ Por "conjugación", me refiero a que podemos traducir $f$ a la función $S$ definido por $$S(z) \equiv \varphi\circ f \circ\varphi^{-1}(z) = \frac{\sqrt{2}-2 i}{\sqrt{2}+2 i}z.$$ Ahora, la dinámica de la $S$ son muy simples. Tenemos $S^n(z)=\lambda^nz$ donde $$\lambda=\frac{\sqrt{2}-2 i}{\sqrt{2}+2 i}.$$ Como $\lambda$ es un número complejo con valor absoluto $1$ e irracional argumento, la recorre de $S$ a partir de cualquier número complejo a $z_0$ son densos en un círculo con un radio de $|z_0|$. En particular, la órbita en $S$ $\varphi(3/2)$ es exactamente la imagen en $\varphi$ de la órbita de $3/2$ bajo la iteración de $f$. Simbólicamente: $$S^n\circ\varphi(3/2) = \varphi\circ f^n(3/2).$$ Como $S^n\circ\varphi(3/2)$ es denso en un círculo, debemos tener la $f^n(3/2)$ es denso en la recta real.