Probar que el conjunto$B_m$ es medible

Question

Deje $(X, \mathcal{A}, \mu)$ ser una medida en el espacio y el $\{A_n\}$ una familia de conjuntos medibles. Para $m \in \mathbb{N}$ deje $B_m$ el conjunto de puntos de $x \in X$ que pertenecen por lo menos a $m$ de los conjuntos de $A_n$. Demostrar que $B_m$ es medible y que

$\mu (B_m) \leq \dfrac{1}{m} \sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n)$

He estado tratando de usar el teorema que dice que $\mu (\cup_{n=1}^\infty C_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu (C_n)$ para una familia de conjuntos medibles $\{C_n\}$ y estoy buscando a la familia que me podía ayudar, pero no sé cómo utilizar el factor de $\dfrac{1}{m}$.

También estoy tratando de ver el conjunto $B_m$ como la intersección de otros conjuntos medibles, que yo sepa.

He probado con la inducción de más de $m$.

Answer 1

Tenga en cuenta que$x\in B_m$ si y solo si a cada$k \ge m$, corresponde una función$f : \{1,2,\ldots, k\} \to \Bbb N$ tal que$x\in A_{f(j)}$ para$j = 1,2,\ldots, k$. Así

PS

Ahora$$B_m = \bigcap_{k\ge m} \bigcup_{f : \{1,2,\ldots, k\}\to \mathbb N} \bigcap_{j = 1}^k A_{f(j)}\in \mathcal{A}$ para todos$\sum\limits_{n = 1}^\infty 1_{A_n}(x) \ge m1_{B_m}(x)$. La integración sobre$x\in X$ produce$X$$$\int_X \sum\limits_{n = 1}^\infty 1_{A_n}(x) \ge m\mu(B_m)$$ By the monotone convergence theorem, $$\int_X \sum_{n = 1}^\infty 1_{A_n}\, d\mu = \sum_{n = 1}^\infty \int_X 1_{A_n}\, d\mu = \sum_{n = 1}^\infty \mu(A_n)$$ Hence $ $ como se desee.

Answer 2

Para la primera pregunta: la función$f = \sum_n \chi_{A_n}$ es una función medible desde$X$ a$[0,\infty].$ Por lo tanto,$f^{-1}([m,\infty])$ es mensurable. El último conjunto es precisamente$B_m.$