Caracterización de la compacidad débil en un espacio de Banach.

Question

Mientras estudiaba el libro de texto de Fernando Albiac y Nigel J. Kalton (Temas en el Espacio de Banach de la Teoría), me encontré con el siguiente resultado:

Un subconjunto $A$ de un espacio de Banach $X$ es débilmente relativamente compacto si y sólo si lo es la norma en el limitado y el $\sigma(X^{**},X^*)$-cierre de $A$ en $X^{**}$ está contenido en $A$.

Yo soy relativamente inexpertos con topologías débiles, por lo que agradecería ayuda en la comprensión de cómo resultado podría ser probada. Estoy especialmente interesado en el "si"de la dirección.

Una primera idea para probar el "si" es la dirección, la aplicación de Banach-Alaoglu teorema de la $X^{**}$ y el uso que la canónica mapa de $i:X\to i(X) $ dado por $i(x):=(X^*\ni f\mapsto f(x))$ es en realidad un homeomorphism con respecto a $(X,\sigma(X,X^*))$ e $(X^{**},\sigma(X^{**},X^*))$.

Si que podría funcionar, le agradecería obtener ideas acerca de cómo probar la $(X,\sigma(X,X^*))$, $(X^{**},\sigma(X^{**},X^*))$ - la continuidad de la $i$.

Answer 1

Si $x\in B_X$, a continuación, $\|i(x)(f)\|=|f(x)|\le \|f\|\|x\|\le \|f\|\Rightarrow \|i(x)\|\le 1\Rightarrow \sup_{x\in X}\|i(x)\|\le 1,$ lo $i$ está acotada. Es claramente lineal, por lo tanto es continua.

Otra manera es tomar un vecindario $\mathcal N$ de $0\in X^{**}$ y muestran que hay un barrio $\mathcal M$ de $0$ en $X$ y muestran que $i(\mathcal M)\subseteq \mathcal N$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\mathcal N_{f^{*}}$ es un subbasis elemento; es decir, que $\mathcal N_{f^{*}}=\{\phi\in X^{**}:|f_*\phi|=|\phi(f)|<\epsilon\}.$ Entonces, si $\mathcal M=\{x\in X:|f(x)|<\epsilon\},$ tenemos $|f_*(i(x))|=|i(x)(f)|=|f(x)|<\epsilon$

Answer 2

El trabajo con redes de hacer esto casi trivial:

Supongamos $(x_\gamma)$ es un netos en $X$ que es débilmente convergente a $x\in X$. Si $f\in X^*$, luego tenemos $$i(x_\gamma)(f)=f(x_\gamma)\to f(x)=i(x)(f),$$ por lo $(i(x_\gamma))$ es débil$^*$ convergente a $i(x)$, y por lo tanto $i$ es débil-débil$^*$ continua.