Calcular

Question

Calcular el $$\int e^{2x}(\cos x)^3 dx$$

Yo:

• Firsty he intentado utilizar la integración por partes, pero luego me dieron: $$\int e^{2x}\cos^3(x) dx=...=\frac{1}{2}\cos^3(x) e^{2x}+\frac{3}{2}\left(\int e^{2x} \sin(x) dx-\int e^{2x} \sin^3(x) dx \right)$$So my calculation have not many sens because I have $\int e^{2x} (\sin x)^3 dx $ así que volvió a similar problema de cómo en la tarea.
• Después de que trató de utilizar la integración por sustitución: $$u=\cos(x)$$ $$du=-\sin(x)dx$$ Sin embargo, en este camino no sé cómo transformar $e^{2x}$ dependiendo de la $u$.
  
  Tienes alguna idea de cómo hacer esta tarea?

Answer 1

Linealice $\cos^3 x$ primero: $\;\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x$ , así que $\;\cos^3x=\frac14(\cos 3x+3\cos x)$ , por lo que $$\mathrm e^{2x}\cos ^3 x=\tfrac14\operatorname{Re}\Bigl(\mathrm e^{(2+3i)x}+3\mathrm e^{(2+i)x}\Bigl)$ $ calcule $\;\frac14\displaystyle\int\bigl(\mathrm e^{(2+3i)x}+3\mathrm e^{(2+i)x}\bigl) \mathrm dx$ y tome su parte real.

Answer 2

PS

El enchufar da:

PS

Mirando la primera integral y realizando IBP dos veces:

PS

Luego, la segunda integral y realiza IBP dos veces:

PS

Entonces, volviendo al problema inicial:

PS