Cómo demostrar $\frac{\partial}{\partial x^r} (x^r) = 1$ donde $(U, (x^1, ..., x^n))$ es una carta local de una variedad lisa.

Question

Sea $M$ sea una variedad lisa. Me estoy perdiendo en las anotaciones. ¿Podría alguien explicarme cómo demostrar $\frac{\partial}{\partial x^r} (x^r) = 1$ donde $(U, \phi = (x^1, ..., x^n))$ es un gráfico local de $M$ ?

También agradecería si alguien me puede decir lo que debo pensar de $\frac{\partial}{\partial x^r}$ como intuitivamente?

Answer 1

Buena pregunta, estos detalles básicos son realmente importantes y merece la pena pensar en ellos de vez en cuando, en mi opinión.

Supongo que la respuesta depende realmente de cómo definas el espacio tangente para empezar, así que te daré mi versión. En el curso de introducción a la Geometría de Riemann que tomé, dado $p\in M$ definimos $T_pM$ como sigue:

Sea $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ sea una curva suave en M tal que $c(0)=p$ . Consideremos el conjunto $C^\infty(p)$ de todas las funciones $f: M\to\mathbb{R}$ que son diferenciables en $p$ . En $\textbf{tangent vector to the curve}$ $c$ en $p$ es entonces el operador $\dot{c}(0): C^\infty(p)\to\mathbb{R}$ dada por

$$\dot{c}(0)(f)=\frac{d(f\circ c)}{dt}(0)$$

Y luego dado un barrio $U\subset M$ de $p$ y un gráfico local $\varphi=(x^1,\ldots,x^n): U\to\mathbb{R}^n$ definimos $\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p$ como simple notación para el vector tangente a la curva $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ dado en coordenadas por:

$$\left(\varphi\circ c\right)(t)=(x^1_p,\ldots,x^i_p+t,\ldots,x^n_p)$$

donde $(x^1_p,\ldots,x^n_p)=\varphi(p)$ . Así que, una vez definido todo, podemos calcular lo que has pedido:

$$\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p(x^i)=\frac{d(x^i\circ c)}{dt}(0)=\frac{d(x^i_p+t)}{dt}(0)=1$$ .

A continuación, puede demostrar que $T_pM$ es efectivamente un espacio vectorial, para el cual el $\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p$ definidos de este modo forman una base.

Gracias por la pregunta. Espero que esto le ayude.

Answer 2

Sólo tienes que saber qué $\frac{\partial}{\partial x^r}$ es, $r \in \{1 , \ldots , n\}$ . Al principio hay que tener en cuenta un gráfico $(U , \psi = (x^1 , \ldots , x^n))$ de su colector $M$ . Bueno, si $p \in U$ tienes que saber que existe una biyección $h_{(U , \psi)} : T_pM \to {\mathbb{R}}^n$ que puede utilizarse para demostrar que $T_pM$ es un $n$ -(ese mapa es, por tanto, un isomorfismo). Por notación, ahora se escribe $$ {\left(\frac{\partial}{\partial x^r}\right)}_p := h_{(U , \psi)}^{- 1}(e_r)\mbox{,} $$ donde ${\{e_r\}}_{r = 1}^n$ es la base canónica de ${\mathbb{R}}^n$ .

Answer 3

Lo más fácil es pensar en $D_r:=\partial /\partial x_r$ como campo vectorial. Los campos vectoriales son funciones de $C^{\infty}(M)$ a sí misma. Por otro lado, $D_r$ es sólo $\frac{d}{dt}\phi^{-1}(x_1,...,x_{r-1},t,x_{r+1},...,x_n)$ en $t=x_r$ . Por lo tanto, $D_r(x_r)= (x_r\circ \phi^{-1}(x_1,...,x_{r-1},t,x_{r+1},...,x_n))’=t’=1$ donde hemos abusado de la notación.

Generalmente, $\partial/ \partial x_i (x_j)=\delta_{ij}$ .