Probabilidad de que la enésima extracción tenga el mismo valor

Question

Descargo de responsabilidad al principio: esto no relacionar a un problema de deberes, pero no es el propio problema de deberes.

Considera una serie de números, $1, 2,...,n$ . Seleccionamos un valor a la vez al azar de esta secuencia (con reemplazo) hasta que seleccionamos un valor que ya ha sido seleccionado antes. Sea $D_n$ ser el sorteo en el que seleccionamos un valor que ha sido seleccionado anteriormente. $D_n$ claramente sólo toma valores de $2$ a $n+1$ .

Ahora, el problema de la tarea nos pide que demostremos que (pero esto es no lo que estoy preguntando): $$\lim_{n \to \infty}P\{\frac{D_n}{\sqrt{n}}>x\}=e^{\frac{-x^2}{2}}$$

Sin embargo, lo que tengo curiosidad por saber es la probabilidad $P\{D_n=t\}$ . Según mis cálculos, hay $n^{n+1}$ posibles formas de hacer $n+1$ sorteos de n valores. Y, hay $$n(n-1)(n-2)...(n-t+1)\binom{n-1}{1}(n^{n-t+1})=\frac{n!(n-1)(n^{n-t+1})}{(n-t+1)!}$$ formas de tener exactamente dos valores en los sorteos de t son iguales. Entonces, el $P\{D_n=t\}$ :

$$P\{D_n=t\}=\frac{n!(n-1)(n^{n-t+1})}{(n-t+1)!}*\frac{1}{n^{n+1}}$$ $$=\frac{n!(n-1)(n^{-t})}{(n-t+1)!}$$

Sin embargo, sé que esto debe estar mal porque como $n \to \infty$ , ésta es (según Mathematica), ilimitada. ¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

La probabilidad de que el $\ t^\mathrm{th}\ $ dibujar repite cualquiera de los anteriores $\ t-1\ $ dibujar es $\ \frac{t-1}{n}\ $ y la probabilidad de que no lo haga es $\ \frac{n+1-t}{n}\ $ . Por lo tanto, como los sorteos son independientes, la probabilidad de que no haya repeticiones en el primer $\ t-1\ $ dibujar es $\ \left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{n-2}{n}\right)\dots\left(\frac{n+2-t}{n}\right)=\frac{n!}{n^{t-1}\left(n+1-t\right)!}\ $ y por lo tanto $\ P\{D_n=t\}=\frac{n!}{n^{t-1}\left(n+1-t\right)!}\left( \frac{t-1}{n}\right)=\frac{n!\left(t-1\right) }{n^t\left(n+1-t\right)!}\ .$

Esto señala la fuente del error en su cálculo como el factor $\ {n-1\choose 1}\ $ en su fórmula para el número de "formas de tener exactamente dos valores en $\ t\ $ sorteos sean iguales". Este debe ser el número de formas en que se produce la primera repetición en el $\ t^\mathrm{th}\ $ lugar, y es $$n(n-1)(n-2)...(n-t+1)(t-1)n^{n-t+1}\ .$$

Answer 2

Has cometido un error. La probabilidad de que un elemento repetido sea sorteado en $t$ -es el producto de la probabilidad de que todos los $t-1$ los elementos previamente dibujados son distintos: $$\frac nn\frac{n-1}n\cdots\frac{n-t+2}n=\frac{n!}{n^{t-1}(n-t+1)!}$$ y la probabilidad de que el $t-th$ El artículo dibujado coincide con uno anterior: $$\frac{t-1}n.$$

Por lo tanto, el resultado correcto es: $$P\{D_n=t\}=\frac{n!(\color{red}t-1)}{n^t(n-t+1)!}.$$