Esta pregunta procede de (London Mathematical Society Student Texts) Krzysztof Ciesielski-Set Theory for the Working Mathematician-Cambridge University Press. Capítulo 6.2 Ejercicio 5.
He pensado en ello durante unas semanas y he preguntado a algunos amigos.
La pregunta de extensión es si todo subconjunto de Borel de $\mathbb R$ es contable o contiene un subconjunto perfecto？
Sí, esto se llama propiedad del conjunto perfecto . Los conjuntos analíticos (= imagen continua de Borel) también tienen esta propiedad; para conjuntos más complicados (por ejemplo, complementos de conjuntos analíticos), la cuestión del conjunto perfecto es indecidible a partir de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos.
Mientras que es trivialmente cierto para los conjuntos abiertos, ya para los conjuntos cerrados requiere algo de trabajo (el enfoque más fácil, dado un conjunto cerrado $C$ es considerar el conjunto de elementos de $C$ alrededor de la cual $C$ es "localmente incontable", es decir, aquellos $c\in C$ de tal manera que cada $U$ que contiene $c$ tiene una intersección incontable con $C$ ).
El resultado completo se desprende de Determinación de Borel que es un teorema muy difícil; de momento no conozco ninguna demostración que no utilice esto. El libro de Kechris Teoría de conjuntos descriptiva es una muy buena fuente (al igual que el libro de Moschovakis).
Tengo una idea principalmente de los consejos de Noah Schweber. No sé si es exactamente correcto o no?
La idea simple es que un subconjunto de un espacio polaco (como los números reales) tiene la propiedad de conjunto perfecto si es contable o tiene un subconjunto perfecto no vacío (Kechris 1995, p. 150).
Una prueba de Noah Schweber La idea es la siguiente:
En primer lugar, es trivialmente cierto para los conjuntos abiertos, (ya que la definición de conjunto borel es de conjunto abierto). Si un subconjunto borel de R es/contiene un conjunto abierto, podemos dejar que sea $B(p, \epsilon)$ ，entonces en $R$ hay un $\delta < \epsilon$ , de tal manera que $[p-\delta, p+\delta]$ es un conjunto cerrado，y este conjunto cerrado no tiene ningún punto aislado，y este conjunto es un conjunto perfecto. A partir de la definición de conjunto perfecto, es decir, en el campo de topología un subconjunto de a espacio topológico es perfecto si es cerrado y no tiene puntos aislados .
Pero para los conjuntos cerrados se necesita un trabajo difícil. El enfoque más sencillo, dado un conjunto cerrado $C$ si no contiene un conjunto perfecto, es decir, cada punto/elemento de $C$ que sea $c \in C$ son puntos aislados, pero esto es imposible. Porque toda familia U de subconjuntos abiertos parejos de R es a lo sumo contable. Para cada punto aislado de $C$ podríamos encontrar un conjunto abierto suficientemente "pequeño" $B(c, \epsilon)$ para cubrir el punto aislado, y podríamos asegurar que todos los conjuntos abiertos son disjuntos. Por lo tanto, sólo tenemos a lo sumo puntos aislados contables. Pero este conjunto cerrado de subconjuntos de Borel es incontable. Así que este conjunto cerrado contiene una parte del conjunto cerrado incontable.
Entonces, a partir del (teorema de Cantor-Bendixson), todo subconjunto cerrado e incontable F de R puede representarse como una unión disjunta de un conjunto perfecto P y un conjunto a lo sumo contable C. Por tanto, tenemos un conjunto perfecto.
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