¿Podemos demostrar que
$$\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=0$$
considerando las séptimas raíces de la unidad? Si es así, ¿cómo podríamos hacerlo?
También he observado que
$$\cos\frac{\pi}{5}+\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=0$$
también, así que sólo por curiosidad, ¿es cierto que $$\sum_{k=1}^{n-1} \cos\frac{k\pi}{n} = 0$$
para todos $n$ ¿impar?
Tenga en cuenta que $$\cos(\pi - \alpha)= - \cos(\alpha)$$ Por lo tanto, $$\cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})+\cos(\frac{4\pi}{7})+\cos(\frac{5\pi}{7})+\cos(\frac{6\pi}{7})=$$
$$\cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})-\cos(\frac{3\pi}{7})-\cos(\frac{2\pi}{7})-\cos(\frac{\pi}{7})=0$$
Lo mismo ocurre con otros números naturales $n$ en lugar de $7$ .
Creo que puedes usar la Fórmula de Euler.
Las raíces N de la unidad = $e^{2\pi k i/N}$ para valores de k entre $0$ y $N-1$ incluso.
Hay suma de k a $N-1$ es una serie geométrica.
$S= \sum_{k=0}^{N-1} \ e^{2\pi i k/N}=\frac{1\cdot e^{(2\pi i /N)N}-1}{e^{2\pi i /N}-1}$
El numerador es cero para cualquier N.
Pero la parte real de $S$ es la parte real de los términos individuales de la suma, es decir, los cosenos. La parte real de la suma es cero, por lo que la suma de las partes reales de las raíces de la unidad es 0.
Señalando el enlace He dejado en los comentarios
$$1 + \cos\theta + \cos2\theta +... + \cos n\theta = \frac{1}{2} + \frac{\sin[(n+\frac{1}{2})\theta]}{2\sin(\frac{\theta}{2})}$$
Entonces para $\forall n\in\mathbb{N}, n>0$ $$\cos\frac{\pi}{n+1}+ \cos\frac{2\pi}{n+1} +... + \cos \frac{n\pi}{n+1} = \frac{\sin\left[(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{n+1}\right]}{2\sin\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)}-\frac{1}{2}=\\ \frac{\sin\left[\frac{2n+1}{2(n+1)}\pi\right]}{2\sin\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)}-\frac{1}{2}= \frac{\sin\left[\pi-\frac{\pi}{2(n+1)}\right]}{2\sin\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Utilice números complejos, algo así como este
4 votos
Podrías usar eso $\cos (\pi-\theta)=-\cos \theta$ en su lugar, y simplemente emparejar cada coseno con su negativo.
0 votos
Además, funciona para todos $n$ no sólo los de impar.
0 votos
Porque el no apareado es $\cos (\pi /2)$
0 votos
Debes investigar cómo los números complejos también pueden representarse como vectores
0 votos
Funciona para enteros mayores que 1. El caso n=1 no funciona.
1 votos
@Acumulación Incluso para $n=1$ , uno tiene $\sum_{k=1}^{n-1}\cos(k\pi/n)=0$ .