$$\frac{1-f^{-1}\left(\frac{f(x)}{x}\right)}{1-x} = 1- \frac{f(x)}{xf'(x)}$$
Yo sé que $f(x) = ax+b$ es una solución. ¿Cómo puedo encontrar otras soluciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Talha Ashfaque
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Este es un comentario extendido, no una respuesta, pero necesitaría espacio... Las funciones inversas son estresantes, así que podrías eliminar la tuya por $$ f^{-1}\left(\frac{f(x)}{x}\right) =1 -\left (1- \frac{f(x)}{xf'(x)}\right ) (1-x),$$ de modo que $$ \frac{f(x)}{x} =f\left (1 -\left (1- \frac{f(x)}{xf'(x)}\right ) (1-x)\right ),$$ de modo que $$ f(x)=xf\left( \frac{f(x)/f’(x)}{ x}+\frac{xf'(x) -f(x)}{f'(x)} \right),$$ poseyendo manifiestamente tu solución binomial líder. Cerca del origen, solo el término líder en el argumento del lado derecho es singular.
Después de hacer esto, podrías empezar a introducir soluciones en series y elaborar recurrencias creativas de coeficientes...
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¿Has verificado si $f(x)=ax+b \ \ \forall \ \ a,b\neq 0$ es una solución? Esto es lo primero que haría si me enfrento a este problema.
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Sí. Esa es una solución. Quiero encontrar otras soluciones. O demostrar que es la única solución.
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Tengo que admitir que la solución no funciona para mí. Tal vez esté equivocado, pero tal vez tenga razón. Un cálculo que muestre que $f(x)=ax+b$ es una solución indicaría que realmente estás interesado en ese ejercicio.
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He vuelto a comprobar. Esa es una solución.
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Sí. Esa es una ecuación crítica en mi proyecto de investigación.
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Una idea para empezar es tratar de simplificarlo sustituyendo $x \to f^{-1}(x)$ y usando $f^{-1}(x)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ para escribirlo en la forma $\frac{g(x)-g\left(\frac{x}{g(x)}\right)}{x - \frac{x}{g(x)}} = g'(x)$ donde $g(x) = f^{-1}(x)$.
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Gracias. ¿Qué debería hacer en el siguiente paso?
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No lo sé. Mi suposición sería que las funciones lineales son las únicas soluciones, pero esto es solo una suposición. Lo único que se me ocurre es intentar estudiar la función a lo largo de secuencias en la forma $x_{n+1} = x_n/g(x_n)$ y de alguna manera intentar utilizar esta información local para obtener algunas restricciones sobre el comportamiento global de tu función. Es una idea muy vaga y no sé si funcionaría. Esperemos que alguien proponga una idea mejor.