OPE de tres operadores

Question

En el proceso de reflexión sobre esta cuestión, me di cuenta de que no he entendido algo muy fundamental sobre producto del operador expansiones.

Considerar un producto de 3 operadores locales en 2d CFT:

$$ X(x) Y(y) Z(z) = \sum_{n=-N}^{\infty} A_n(x) Z(z) (x-y)^n, $$

donde hemos sustituido $X(x) Y(y)$ de la $XY$ OPE. Esta expresión contiene el singular términos de $x = y$.

Ahora, ya que por definición de la OPE $A_n(x)$ es un operador local en $x$, podemos utilizar el $A_n Z$ OPE de nuevo:

$$ X(x) Y(y) Z(z) = \sum_{n=-N}^{\infty} \sum_{m=-M}^{\infty} B_{nm} (x) (x-y)^n (x-z)^m. $$ Esta expresión contiene el singular términos de $x = y$ e $x = z$.

Pregunta: ¿de dónde surgió la $y = z$ singular términos ir?

Esto está probablemente relacionado con la convergencia de la serie, pero yo no era capaz de formular un argumento convincente.

Answer 1

Permítanme volver a hacer el cálculo, mientras que explícitamente escrito OPE de los coeficientes. Deje $(A_n(z))_n$ ser una base de operadores en $z$. Utilizamos los dos OPEs $$ Y(y)Z(z) = \sum_n c_n(y,z) A_n(z) $$ y $$ X(x)A_n(z) = \sum_m d_{m,n}(x,z) A_m(z) $$ Terminamos con el resultado $$ X(x)Y(y)Z(z) = \sum_{m,n} c_n(y,z)d_{m,n}(x,z) A_m(z) $$ donde el coeficiente de $A_m(z)$ es $\sum_n c_n(y,z)d_{m,n}(x,z)$. Este coeficiente es una infinita suma, y puede muy bien ser singular como $x\to y$, aunque este no se manifiesta. Por ejemplo, $$ \frac{1}{x-y} = \sum_{n=0}^\infty (y-z)^n (x-z)^{n-1} $$ Usted puede recuperar un resultado similar en su cálculo distinguir más claramente el operador de la base de la OPE de los coeficientes. Sus operadores $B_{m,n}(x)$ no deben todos ser linealmente independientes, y que debe volver a escribir en términos de una base de operadores.