$d(x,y) = |f(x) - f(y)|$ en $\mathbb{R}$

Question

Dado cualquier mapa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , defina la siguiente función $$d(x,y) = |f(x) - f(y)|$$ para $x,y \in \mathbb{R}$

Me parece - por favor confirme - que tan pronto como $f$ es inyectiva, $d$ es una métrica en $\mathbb{R}$ .

Además, creo - por favor, confirme de nuevo - que $\mathbb{R}$ es un límite wrt a $d$ si y sólo si $f$ está acotado.

Si no he cometido ningún error hasta ahora, me pregunto si es posible caracterizar todo $f$ de tal manera que $(\mathbb{R}, d)$ es un completa espacio métrico. ¿Qué pasa con la compacidad?

Answer 1

Sí, tienes razón: $d$ es una métrica si y sólo si $f$ es inyectiva y $(\mathbb R,d)$ está acotado si y sólo si $f$ está acotado.

Asumiendo ahora que $f$ es inyectiva, entonces $(\mathbb R,d)$ y $f(\mathbb R)$ (dotado de la métrica habitual de $\mathbb R$ ) son isométricos. Por lo tanto,

• $(\mathbb R,d)$ es completa si y sólo si $f(\mathbb R)$ está completo;
• $(\mathbb R,d)$ es compacto si y sólo si $f(\mathbb R)$ es compacto.