¿Hay "ecuaciones diferenciales" que implican derivaciones en el sentido de álgebra abstracta?

Question

Hay esta noción abstracta de una derivación, que en realidad sólo se preocupa acerca de la propiedad

$$D(ab)=aD(b)+D(a)b,$$

donde $a,b$ son elementos de algunos de álgebra. Esto sólo tangentes de las ideas, que conducen a $\frac{\text d}{\text d x}$ para las funciones en la recta real.

Me pregunto si es que existe tal cosa como ecuaciones diferenciales álgebra abstracta? Supongo que se puede escribir una ecuación $D(aD(ab))=abaa$ o $D(a)=-ca$ para algunos de álgebra y algunos $D$ e intentar averiguar si realmente hay elementos que satisfacen esta relación, pero me pregunto si peolpe que en realidad están haciendo las cosas tales y cuáles son sus perspectivas a ser. Hay investigaciones de, por ejemplo, inicialmente físicamente motivado ecuaciones en términos de este conceptos abstractos?

La única relacionadas con la variante de que puedo pensar son ecuaciones de la Mentira-Grupos, sin embargo, parece que estos pueden ser expresados en términos de la costumbre de derivados (ya que también llevan el colector de estructura), así que no es realmente algo nuevo.

Answer 1

Una vez investigué esta ecuación en los reales. En otras palabras, D se convierte en una función. Es única hasta la base:

$D(x) = x.log(|x|)$ en una base arbitraria.

Luego se extiende a un operador en funciones así:

$D(f) = f.log(|f|)$ (de hecho para cada x, una base diferente puede tomar)

El operador inverso (integración algebraica) no es único, porque la función $D:x \to x.log(|x|)$ no es monótono. ¿Tal vez hay soluciones?

Espero que esto ayude un poco.

Answer 2

Su questoin no es clara. Más o menos, cualquier ecuación diferencial es de la forma que usted ha mencionado, pero probablemente no significa que esas. Pero en cualquier caso es necesario especificar que la derivación $D$ que significa para la ecuación de hacer sentido. Incluso si usted intenta hacer exóticas ejemplos de derivaciones, la ecuación que usted escribe es probable que para darle una ecuación diferencial de todos modos, aunque quizás no de la misma como si se $D$ a de pie para el común de diferenciación. Si usted se está preguntando si hay estructuras algebraicas donde uno escribe las ecuaciones en las que no se producen operaciones que son derivaciones, entonces la respuesta es sí. Por ejemplo, en un algebra de Poisson cualquier Poisson soporte de operación $\{x,\cdot\}$ es una derivación.

Answer 3

Conozco a dos tipos de resultados en el diferencial álgebra:

1. (Mi favorito) realizar cualquier función para mostrar que puede ser integrado en términos finitos: por ejemplo, $\int e^{-x^2}$ no es integrable en términos finitos, es decir, la integral no puede ser expresado con la racional, exponencial, logarítmica o funciones trigonométricas. Hay algoritmos para integrar en términos finitos o decidir no (Brookstein, por ejemplo). De esta manera Diferencial Álgebra es como la resolución de ecuaciones algebraicas con radicales.
2. Del mismo modo, tomar una ODA y mostrar que se puede resolver en términos de funciones elementales o extensiones de las integrales de ellos. Aquí mi referencia es muy antiguo: Ritt (1950). De esta manera Diferencial Álgebra es un tipo de teoría de Galois.

Obviamente Diferencial Álgebra es más.