¿Cómo calcular la derivada de$\int_0^x \left(\frac{1}{t}-[\frac{1}{t}]\right)dt$ en x = 0?

Question

Deje $F(x):=\int_0^x \left(\frac{1}{t}-[\frac{1}{t}]\right)dt$ , donde $[\frac{1}{t}]$ es el entero más grande que no más de $\frac{1}{t}$ .Proveer $F'(0)=\frac{1}{2}$ .

Lo he intentado de esta manera: \begin{equation} \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}nF\left(\frac{1}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty\int_\frac{1}{k+1}^\frac{1}{k}\left(\frac{1}{t}-\left[\frac{1}{t}\right]\right)dt\\&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty\int_\frac{1}{k+1}^\frac{1}{k}\left(\frac{1}{t}-k\right) dt\\&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty \left(\ln(1+\frac{1}{k})-\frac{1}{k+1}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\&=1. \end {alineado} \ end {equation} Por favor, dame algunas ideas, ¡gracias!

Answer 1

Con la ayuda de reuns,puedo completar la prueba. \begin{equation} \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}nF\left(\frac{1}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty\int_\frac{1}{k+1}^\frac{1}{k}\left(\frac{1}{t}-\left[\frac{1}{t}\right]\right)dt\\&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty\int_\frac{1}{k+1}^\frac{1}{k}\left(\frac{1}{t}-k\right) dt\\&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty \left(\ln(1+\frac{1}{k})-\frac{1}{k+1}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=n}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{2k^2}-\frac{1}{k+1}\right)\\&=\frac{1}{2}. \end{aligned} \end{equation} Desde $$\frac{1}{n}=\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k(k+1)}<\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^2}<\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{n-1}$$ y $$\frac{1}{n^3}\leq\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{k^3}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{k^2}<\frac{1}{n(n-1)}.$$ Gracias a Martin R para recordar.

La siguiente parte es por Adam Latosiński, me acaba de modificar los errores tipográficos.Gracias por su ayuda!

Todavía tenemos que demostrar que $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{F(x)}{x} = \frac{1}{2}$ también cuando nos acercamos por una secuencia de con $x\neq\frac{1}{n}$. Deje $n=[ 1/x]$, por lo que $\frac{1}{n+1}<x\le\frac{1}{n}$, que es $n\le\frac{1}{x}<{n+1}$. Tenemos \begin{align} \left|\frac{F(1/n)}{1/n} - \frac{F(x)}{x}\right| &\le \left|\frac{F(1/n)}{1/n} - \frac{F(1/n)}{x}\right| + \left|\frac{F(1/n)}{x} - \frac{F(x)}{x}\right| \\ &\le F(1/n) \left|n-\frac{1}{x}\right| + (n+1) |F(1/n)-F(x)| \\ &\le F(1/n) + (n+1) \int_{x}^{\frac{1}{n}} \Big(\frac{1}{t}- \left[\frac{1}{t}\right]\Big) dt \\ &\le F(1/n) + (n+1) \int_{x}^{\frac{1}{n}} 1 \,dt \\ &\le F(1/n) + (n+1)(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) \rightarrow 0\end{align} lo que demuestra que $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{F(x)}{x} = \lim_{n\rightarrow\infty} nF(\frac{1}{n}) = \frac12$$

Answer 2

Por el teorema de Stolz-Cesaro \begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}n F(\frac{1}{n}) &=&\lim_{n\to\infty}\frac{F(\frac1n)}{\frac1n}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{F(\frac1{n+1})-F(\frac1n)}{\frac1{n+1}-\frac1n}\\ &=&-\lim_{n\to\infty}n(n+1)\int^{\frac{1}{n+1}}_{\frac{1}{n}} (\frac{1}{t} - n)dt \\ &=&-\lim_{n\to\infty}n(n+1)\int^{\frac{1}{n+1}}_{\frac{1}{n}} (\frac{1}{t} - n)dt \\ &=&-\lim_{n\to\infty}n(n+1\bigg[\ln(\frac{n}{n+1})-\frac1{n+1}\bigg] \\ &=&\frac12. \end {eqnarray}

Answer 3

Usando $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ y sustituyendo $t\mapsto\frac1t$ , luego integrando por partes (varias veces para mayor precisión), obtenemos $$ \begin{align} \int_0^x\left(\frac1t-\left\lfloor\frac1t\right\rfloor\right)\mathrm{d}t &=\int_{1/x}^\infty\left(\frac1{2t^2}+\frac{\{t\}-\frac12}{t^2}\right)\mathrm{d}t\\ &=\frac x2+\int_{1/x}^\infty\frac1{t^2}\,\mathrm{d}\left(\tfrac12\{t\}^2-\tfrac12\{t\}+\tfrac1{12}\right)\\ &=\frac x2-x^2\left(\tfrac12\left\{\tfrac1x\right\}^2-\tfrac12\left\{\tfrac1x\right\}+\tfrac1{12}\right)+\int_{1/x}^\infty\frac{\{t\}^2-\{t\}+\tfrac16}{t^3}\,\mathrm{d}t\\[6pt] &=\frac x2-x^2\left(\tfrac12\left\{\tfrac1x\right\}^2-\tfrac12\left\{\tfrac1x\right\}+\tfrac1{12}\right)+O\!\left(x^3\right) \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \ lim_ {x \ to0 } \ frac1x \ int_0 ^ x \ left (\ frac1t- \ left \ lfloor \ frac1t \ right \ rfloor \ right) \ mathrm {d} t = \ frac12 $$

Answer 4

Tengo una solución que utiliza la función digamma:

\begin{align} F(\frac{1}{n}) &= \sum_{k=n}^\infty \int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} (\frac{1}{t} - k)dt = \\ &= \sum_{k=n}^\infty \int_{k}^{k+1} \frac{s - k}{s^2} ds = \\ &= \sum_{k=n}^\infty \int_{0}^{1} \frac{s}{(s+k)^2} ds = \\ &= \sum_{k=0}^\infty\int_{0}^{1} s \frac{1}{(s+k+n)^2} ds = \\ &= \int_{0}^{1} s \,\psi'(s+n) ds = \\ &= [s\psi(s+n)]_{s=0}^1 - \int_{0}^{1} \psi(s+n) ds = \\ &= \psi(n+1) - [\ln \Gamma(s+n)]_{s=0}^1 = \\ &= \psi(n+1) - \ln \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma (n)} = \\ &= \psi(n+1) - \ln n\end{align} Para grandes $n$ hemos fórmula de Stirling $\ln\Gamma(n+1) = (n+\frac12)\ln n - n + \mathcal O(n^{-1})$, lo $\psi (n+1) = \ln n + \frac{1}{2n} + \mathcal O(n^{-2}) $, lo que da $$ \lim_{n\rightarrow\infty} nF(\frac{1}{n}) = \frac12$$ Todavía tenemos que demostrar que $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{F(x)}{x} = \frac{1}{2}$ también cuando nos acercamos por una secuencia de con $x\neq\frac{1}{n}$. Deje $n=\lfloor 1/x\rfloor$, por lo que $\frac{1}{n+1}<x\le\frac{1}{n}$, que es $n\le\frac{1}{x}<\frac{1}{n+1}$. Tenemos \begin{align} \left|\frac{F(1/n)}{1/n} - \frac{F(x)}{x}\right| &\le \left|\frac{F(1/n)}{1/n} - \frac{F(1/n)}{x}\right| + \left|\frac{F(1/n)}{x} - \frac{F(x)}{x}\right| \le \\ &\le F(1/n) \left|n-\frac{1}{x}\right| + \frac{1}{n} |F(1/n)-F(x)| \le \\ &\le F(1/n) + \frac{1}{n} \int_{x}^{\frac{1}{n}} \Big(\frac{1}{t}- \lfloor\frac{1}{t}\rfloor\Big) dt \le \\ &\le F(1/n) + \frac{1}{n} \int_{x}^{\frac{1}{n}} 1 \,dt = \\ &\le F(1/n) + \frac{1}{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) \rightarrow 0\end{align} lo que demuestra que $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{F(x)}{x} = \lim_{n\rightarrow\infty} nF(\frac{1}{n}) = \frac12$$

Answer 5

i) Considerar $$ A_n :=\int^{\frac{1}{n-1}}_{ \frac{1}{n} } \ \frac{1}{x}\ dx - (n-1) \bigg[ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\bigg] $$

Por lo tanto $F(\frac{1}{n-1})=A_n +A_{n+1}+\cdots $

Así $$ A_n\bigg[ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\bigg]^{-1} \rightarrow \frac{1}{2}$$

de modo que $\frac{F(\frac{1}{n-1}) }{ \frac{1}{n-1} } \rightarrow \frac{1}{2} $

ii) $ \frac{F(\frac{1}{n} )}{\frac{1}{n-1}}\leq \frac{F(x)}{x} \leq \frac{F(\frac{1}{n-1} )}{\frac{1}{n}} $ where $\frac{1}{n}\leq x<\frac{1}{n-1} $