¿A qué función del delta del espacio local de Sobolev pertenece?

Question

He encontrado que la función delta de Dirac$\delta (x)\in H^{s}(\mathbb{R}), \forall s<-\frac{1}{2}$ y la función Heaviside$\in H^{s}(\mathbb{R}) , \forall s<\frac{1}{2}$;

También quiero usar la siguiente fórmula para el valor principal de Cauchy$p.v\left(\frac{1}{x}\right)$:$\hat{H}(\xi)=\frac{1}{2}\left ( \delta(\xi)-\frac{i}{\pi}p.v\left(\frac{1}{\xi}\right) \right )$ para encontrar a qué$H^{s}(\mathbb{R})$ pertenece$p.v\left(\frac{1}{x}\right)$?

¿Cómo puedo derivarlo utilizando esta fórmula? O, ¿cuál es otra forma de encontrar a qué$H^{s}(\mathbb{R})$ pertenece$p.v\left(\frac{1}{x}\right)$?

Muchas gracias.

Answer 1

Usted sólo puede calcular la transformada de Fourier de $p.v.\ 1/x$ directamente: $$\int_{\epsilon<|x|<\epsilon^{-1}} \frac{1}{x} e^{-ikx} = -\pi \operatorname{sign} k \tag1$$ De hecho, la contribución de $\cos kx$ es cero y la integral impropia de $\frac{1}{x}\sin kx$ es un conocido.

La función de $(1+k^2)^{s/2}(-\pi \operatorname{sign} k )$ $L^2(\mathbb R)$ si y sólo si $s<-1/2$. Por lo tanto, $p.v.\ 1/x$ $H^s$ si y sólo si $s<-1/2$.

Usando la relación con la función de Heaviside $H$ equivale a algo similar (después de todo, (1) es muy similar a una función de Heaviside), pero hay una complicación adicional, debido a que $H$ no tiene cero significa. Esta es la razón por la que usted obtenga una función delta en $\widehat{H}$.