Continuidad e imagen de las secuencias convergentes

Question

¿Es cierto que:

Para un mapa $f:X\rightarrow Y$ entre dos espacios topológicos. Si la imagen de toda secuencia convergente en $X$ también es convergente en $Y$ . Entonces $f$ es continua.

Si es cierto, ¿cómo demostrarlo? O si es falso, ¿cuál es el contraejemplo? Supongo que es falso, porque suele ser insuficiente caracterizar el espacio topológico con secuencias. Pero no puedo construir un contraejemplo. Así que pido ayuda aquí.

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Gracias por todas las respuestas. El uso de redes o filtros para caracterizar la convergencia parece ser un gran tema al que dedicaré algo más de tiempo para digerir. Antes de eso, me parece encontrar un contraejemplo fácil por mí mismo.

Dejemos que $X=\{\{a\},\{a,b\},\emptyset\}$ cada secuencia en $X$ converge. La función $f$ de $X$ a $Y=\{\{f(a),f(b)\},\{f(b)\},\emptyset\}$ . Entonces la imagen de toda secuencia convergente en $X$ es convergente en $Y$ pero $f^{-1}(\{f(b)\})=\{b\}$ no está abierto en $X$ Así que $f$ no es continua.

Answer 1

Construir un espacio que tenga un punto que no sea el límite de ninguna secuencia de puntos diferentes a él, pero que pueda ser alcanzado por una red (en otras palabras, que no esté aislado)

Por ejemplo, dejemos que $\Omega$ sea el ordinal incontable más pequeño, y que $X=\Omega+1$ y poner la topología de orden en $X$ . El elemento más importante $p$ en $X$ es un punto así. Dejemos que $f:X\to X$ coinciden con el mapa de identidad en $\Omega$ pero con $f(p)=0$ .

Answer 2

La caracterización de las funciones continuas en términos de preservación de los límites de las secuencias funciona bien en una gran clase de espacios topológicos, pero no en todos los espacios. Mejor que restringir la clase de espacios considerados es sustituir las secuencias por algo mejor equipado para tratar el caso general, a saber redes o filtros .

Para este tema recomiendo mis notas sobre la convergencia en los espacios topológicos . (A menudo recomiendo mis propios apuntes sólo porque sé lo que contienen y que están disponibles en Internet. Este es un caso en el que realmente no sabría dónde más señalar, ya que todos los textos estándar parecen contar diferentes partes de la historia completa).

Algunos detalles:

La proposición 2.3 muestra que si $f: X \rightarrow Y$ es un mapa entre espacios topológicos con $X$ primero contable, luego $f$ es continua si preserva todos los límites de las secuencias.

En $\S 2.2$ Menciono que el hecho anterior se mantiene de forma más general cuando $X$ es secuencial que es la clase de espacios estudiada en esa sección.

[Esto deja abierta la cuestión de dar una limpia necesaria y condición suficiente en un espacio $X$ tal que para todos los espacios $Y$ un mapa $f: X \rightarrow Y$ es continua si se conservan todos los límites de las secuencias. Realmente no he pensado en esto, pero sería interesante si hubiera una buena respuesta].

En $\S 3$ Hablo de las redes. La proposición 3.2 muestra que un mapa $f: X \rightarrow Y$ es continua si preserva todos los límites de las redes en $X$ .

En $\S 5$ Discuto los filtros. La proposición 5.14 da la caracterización análoga de la continuidad en términos de preservación de los filtros convergentes (en realidad "prefiltros", que se llaman más a menudo bases de filtros, pero es fácil ver que este resultado sigue siendo cierto con todas las instancias de "pre" omitidas).

Answer 3

EDIT: Mi post es sobre los espacios que cumplen la condición: Si $x_n$ converge a $x$ entonces $f(x_n)$ converge a $f(x)$ .

Parece que usted preguntaba por una condición más débil: Si $x_n$ es convergente, entonces $f(x_n)$ es convergente (como señaló Nate Eldredge).

Voy a dejar mi respuesta, ya que puede ser interesante para usted de todos modos. (Cualquier contraejemplo a la condición más fuerte es un contraejemplo a la condición más débil también).

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Esto es cierto si $X$ es un secuencial espacio. Este papel ofrece una buena introducción al tema. El ejemplo 3.6 de este documento es un ejemplo de espacio no secuencial. También puede encontrar información útil en este blog y su continuación. Esta pregunta también está relacionado con los espacios secuenciales.

Su afirmación es cierta para espacios topológicos arbitrarios si sustituye las secuencias por redes.

Hay muchos ejemplos de espacios que no son secuenciales. Cualquier espacio topológico no discreto sin secuencias convergentes no triviales servirá, como la topología cocontable sobre un conjunto incontable (véase el artículo de la wikipedia) o la compactificación de Stone-Cech de un espacio discreto contable (véase este pregunta ).

Para un espacio $X$ donde toda secuencia convergente es eventualmente constante, se puede tomar un espacio topológico discreto $Y$ tener al menos 2 puntos. Entonces cada función $f:X\to Y$ preserva la convergencia de las secuencias. Pero todas esas funciones son continuas sólo si $X$ es discreto.

Daré el siguiente contraejemplo (de nuevo, en este espacio todas las secuencias convergentes son eventualmente constantes):

En esta imagen cada flecha representa una secuencia convergente (es decir, un espacio topológico sobre un conjunto contable, que tiene un único punto de acumulación y las vecindades de este punto son precisamente los conjuntos cofinitos; por ejemplo $\{0\}\cup\{1/n; n\in\mathbb N\}$ ya que el subespacio de la línea real tiene esta topología). Si hacemos un cociente de una suma topológica de tales espacios (de la manera dada en esta imagen), obtenemos un espacio secuencial. La imagen muestra un subespacio de un espacio secuencial que no es secuencial. (Sólo hay un punto que no está aislado. Ninguna secuencia de puntos aislados converge a este punto. Mostrar esto es básicamente un ejercicio de trabajo con la topología de cociente).