Indecisión, independencia y empresa.

Question

Puede que sea una pregunta estúpida, pero estoy teniendo un vistazo a la independencia y a esta pregunta vino a mi mente :

Digamos que usted tiene una proposición P1 independiente de ZFC. Si usted encuentra, en este mismo sistema axiomático, una proposición :

• P2 que implica P1

• P3 que implica (no P1)

• P4 equivalente a P1

Qué significa que P2 es falso, que P2 es indecidible, o nada ?

Qué significa que P3 es falso, que P3 es indecidible, o nada ?

Qué significa que P4 es falso, que P4 es indecidible, o nada ?

Si usted me puede aconsejar una buena lectura sobre la independencia, y undecidability sería agradable. Si desea cambiar las etiquetas o el título podría ser muy bueno... no sé qué escribir.

Gracias de antemano

Answer 1

Si $P_1$ es independiente de la teoría de la $T$ significa que $T\cup\{P_1\}$ no tiene nuevo contradicciones, como bien $T\cup\{\lnot P_1\}$ no tiene nuevo contradicciones (que es el si $T$ fue consistente, entonces también lo son las nuevas teorías).

Si $T$ demuestra que $P_2\rightarrow P_1$ entonces $T$ demuestra $\lnot P_2$ y, a continuación, $P_2\rightarrow P_1$ siempre es cierto en los modelos de $T$; o $P_2$ también es independiente.

Por ejemplo, $GCH$ (la generalización de la Hipótesis continua) implica que el Axioma de Elección. Ambas afirmaciones son independientes de $ZF$. Sin embargo $0=1$ implica también la $GCH$ (simplemente porque la contradicción implica todo), sino $0=1$ es provabily falsa de $ZF$ (desde $0=\varnothing$$1={\varnothing}$).

Lo mismo va para $P_3$ tal que $T$ demuestra $P_3\rightarrow\lnot P_1$, simplemente porque $P_1$ es independiente si y sólo si $\lnot P_1$ es independiente de $T$.

Para $P_4$ tenga en cuenta que la equivalencia significa que implica $P_1$ y, por tanto, independientes, pero también que $P_1$ implica que tan si $T\cup\{P_1\}$ es regular, así es $T\cup\{P_4\}$, y por lo tanto en este caso $T$ no puede probar la $P_4$ falsa.