Cómo resolver $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x^2+y^2}$ ?

Question

¿Cómo se resuelve la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x^2+y^2}$$ He intentado convertir a coordenadas polares:

Dejo que $$x=r(\varphi)\cdot\cos(\varphi)$$ $$y=r(\varphi)\cdot\sin(\varphi)$$ Entonces, $$\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cdot\cos(\varphi)+r(\varphi)\cdot\sin(\varphi)$$ $$\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\cdot\sin(\varphi)+r(\varphi)\cdot\cos(\varphi)$$ tal que $$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\cdot\sin(\varphi)+r(\varphi)\cdot\cos(\varphi)}{r'(\varphi)\cdot\cos(\varphi)+r(\varphi)\cdot\sin(\varphi)}$$ La sustitución en la ecuación diferencial da como resultado $$\frac{r'(\varphi)\cdot\sin(\varphi)+r(\varphi)\cdot\cos(\varphi)}{r'(\varphi)\cdot\cos(\varphi)+r(\varphi)\cdot\sin(\varphi)}=-\frac{\sin(\varphi)}{r(\varphi)}$$ No parece que sea más fácil ahora, ¿verdad?

Answer 1

Me parece que si lo consideramos como $$x'=\frac{x^2+y^2}{-y}=\dfrac{1}{y}x^2-y,~~(y\neq0)$$ entonces se puede considerar como un Riccati ODE.

Answer 2

Una pista.

$$ y y'+\frac{y^2}{x^2+y^2}=0\Rightarrow \frac 12u'+ \frac{u}{x^2+u}=0 $$

con $u = y^2$