Hallar el volumen de una esfera con una integral triple y una subtrama trigonométrica

Question

¿Cómo se hace la sustitución trigonométrica con una integral triple? Por ejemplo,

$$8 \int_0^r \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \int_0^{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} (1) dz dy dx$$

Aquí se han elegido los límites para cortar un octavo de esfera por el origen de radio r, y multiplicar este volumen por 8. Sin convertir las coordenadas, ¿cómo se podría hacer una sustitución trigonométrica para resolver esto?

Answer 1

"La forma difícil" de llegar a esta integral múltiple es la siguiente:

La integral más interna tiene el valor $\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ . La siguiente integral a la que nos enfrentamos es $$I(x):=\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}\sqrt{r^2-x^2-y^2}\ dy\ .$$ Durante la integración $x$ es constante. "Sustitución trigonométrica" significa aquí que de alguna manera debemos utilizar $1-\sin^2 t \equiv\cos^2 t$ para eliminar la raíz cuadrada. Por lo tanto, sustituimos $$y:=\sqrt{r^2-x^2} \sin t\ ,\quad dy= \sqrt{r^2-x^2}\cos t\ dt \qquad(0\leq t\leq {\pi\over2})\ ,$$ y $I(x)$ se convierte en $$I(x)=(r^2-x^2)\ \int_0^{\pi/2} \cos^2 t\ dt\ .$$ Ahora utiliza la regla " $\cos^2(\omega t)$ o $\sin^2(\omega t)$ integrado sobre un número entero de trimestres da la mitad de la longitud del intervalo de integración" y obtener $I(x)={\pi\over4}(r^2-x^2)$ .

Queda por calcular la integral más externa: $${\rm vol}(B_r)=8\int_0^r I(x)\ dx=2\pi\ \int_0^r(r^2-x^2)\ dx=2\pi (r^2x-{x^3\over 3})\Bigr|_0^r ={4\pi\over3}\ r^3\ .$$

Answer 2

El volumen de la esfera $B(0,r)=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2 \leq r^2\}$ se suele calcular de la siguiente manera: Hacer el cambio de variable $x=r\cos \theta \sin \phi;\ y=r\sin \theta \sin \phi;\ z=r \cos \phi$ con el jacobiano igual a $r^2 \sin\phi$ .

$V=\int_{B(0,r)}1 dx=\int_0^r \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin \phi d \phi d \theta d r=\frac{4\pi r^3}{3}$ .

Para obtener más referencias sobre las coordenadas esféricas, eche un vistazo a este artículo