Me presento al análisis complejo y las transformaciones de Möbius y leí que las transformaciones de Möbius trazan círculos y líneas con círculos y líneas.
¿Existen otras funciones que no sean transformaciones de Möbius pero que puedan asignar círculos a círculos?
Si sé que$f(z)$ asigna un círculo a otro círculo, ¿puedo asumir que$f(z)$ es una transformación de Möbius?
Para elaborar el comentario de sometempname: si$f(z)=\overline{z}$, entonces para el círculo$|z-a|=r$, tenemos$$|f(z)-\overline{a}|=r,$ $, por lo que la imagen de un círculo es un círculo. De manera similar, la imagen de una línea es una línea, por lo que tendrá la propiedad deseada pero no será una transformación de Mobius.
Supongo que hablar de analítica de mapas. Pero incluso entonces usted puede tomar los productos de las transformaciones de Möbius que también mapas de $S^1=\{|z|=1\}$ a sí mismo (1-1). Tales transformaciones se denominan: Productos de Blaschke
Si no se requieren 1-1, a continuación, usted también tiene mapas como $z\mapsto z^p$ y si requiere de analiticidad sólo en un barrio de $S^1$ hay muchos más.
Por otro lado, un mapa que siempre los mapas de cualquier círculo o en línea a un círculo o una línea es una transformación de Möbius (donde meromorphic) o una transformación de Möbius compuestas complejas la conjugación. Tal vez esto es más de lo que usted está después... (y una prueba no es tan difícil)
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