Serie de maclaurin encontrando patron

Question

Encuentra las series de maclaurin para$f(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$$f(x)=2(1+x)^{-3}, f(0)=2$ $$$f'(x)=-6(1+x)^{-4}, f'(0)=-6$ $$$f''(x)=24(1+x)^{-5}, f''(0)=24$ $$$f'''(x)=-120(1+x)^{-6}, f'''(0)=-120$ $$$f^4(x)=720(1+x)^{-7}, f^4(0)=720$ $$$2-6x+\frac{x^2}{2!}-120\frac{x^3}{3!}+720\frac{x^4}{4!}+...$ $

Estoy tratando de poner la forma expandida en notación sigma y la siguiente es lo que intenté

$$2+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{(n+2)x^n}{n!}$$$$ 2+ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {(n +2) x ^ n} {n!} = 2+ \ sum_ { n = 1} ^ \ infty (-1) ^ n (n +2) (n +1) x ^ n $$

La solución fue$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+2)(n+1)x^n$

¿Qué les pasó a los 2 o están mal mis pasos?

Answer 1

Considere la función

$g(x)=\frac{1}{(x+1)}$

Observe que $g''(x)=f(x)$

Pero también nota que el poder de la serie de $g(x)$ $|x|<1$ es sólo la serie geométrica dada por

$g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

La diferenciación de dos veces rendimientos

$f(x)=g''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^nn(n-1)x^{n-2}$

Cambio de indicies da

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)(n+2)x^{n}$

Que es exactamente lo que usted desea.

Estrictamente hablando, la diferenciación realizada anteriormente se basa en la convergencia uniforme de la potencia de serie en todos compacto subintervalos de $(-1,1)$ si tenemos que ser estrictamente riguroso.