posibles determinantes de las permutaciones

Question

Esto está tomado del libro de Álgebra Lineal de Gilbert Strang:

¿Cuáles son todos los posibles$4\times4$ determinantes de$I + P_{even}$? (P - matriz de permutación)

Parece que estoy atascado en esta pregunta, excepto por el hecho de que la diagonal siempre va a contener$1$ 's y que incluso las permutaciones mismas tienen un determinante$1.$

Gracias por adelantado

Answer 1

Descomponer la permutación en ciclos y considerar el ciclo de longitudes. Hay cinco posibilidades:

1. 1+1+1+1 (esta notación significa que hay cuatro 1-ciclos). Esta es una permutación y $P=I$. Por eso, $\det(I+P)=2^4$.
2. 1+1+2. Esta es una permutación impar.
3. 1+3. Esta es una permutación y $P$ es de permutación similar a $\pmatrix{1\\ &0&1&0\\ &0&0&1\\ &1&0&0}$. Por lo tanto $\det(I+P)=2^2$.
4. 2+2. Esta es una permutación y $P$ es de permutación similar a $\pmatrix{0&1\\ 1&0\\ &&0&1\\ &&1&0}$. Por lo tanto $\det(I+P)=0$.
5. 4 . La permutación es un 4-ciclo, por lo tanto extraña.

En conclusión, $\det(I+P)$ $\color{red}{0,\,2^2}$ o $\color{red}{2^4}$.