Fórmula para la secuencia 1 1 2 2 3 3

Question

Estoy tratando de resolver un problema de programación donde encuentro este patrón 1 1 2 2 3 3 4 4. ¿Cuál es la fórmula para computarlo para el término Nth?

Answer 1

La fórmula$$f(n) = \dfrac{2n+1+(-1)^{n+1}}{4}, \qquad \quad n = 1,2,3,\ldots$ $ también funciona.

O algo como esto:$$f(n) = \dfrac{2n+1-\cos(\pi n)}{4}, \qquad \quad n=1,2,3,\ldots .$ $

Answer 2

Quizás: $ \ operatorname {ceiling} \ big (\ frac {n} {2} \ big) $ para$n = 1, 2, 3, 4, ...$

Answer 3

Crear una función que toma sólo enteros

$$f : \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z$$

y lo definen como

$$f(x) = \lceil x/2 \rceil$$

donde $\lceil x \rceil$ es el límite máximo de la función.

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Hecho interesante: Se puede definir recursivamente esta función donde $$f(-1) = 0$$ $$ f(0)=0$$ $$f(n)=1+f(n-2)$$ Mientras que esto iba a funcionar, se llevaría a cabo una mucho peor que una función definida utilizando el techo de la función. Como Malloc explica, gracias a la potencia de la informática moderna, esto es sólo tan buena como la función que se utiliza de forma explícita el techo de la función. De hecho, cuando se compila, salen a la misma cosa!

Answer 4

Aquí es una manera de llegar a una respuesta mediante la generación de funciones. Deje que la secuencia que desee ser $\{a_n\}$ $n\geq 1$ ($a_0=0$). Tenga en cuenta que $$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{1-x}=\frac{x}{(1-x)(1-x^2)}=\frac{-1}{4(1+x)}-\frac{1}{4(1-x)}+\frac{1}{2(1-x)^2}\tag{1} $$ por fracciones parciales. La ecuación (1) tiene sentido como una identidad de poder formal de la serie o para $|x|<1$. A continuación, utilizando la serie geométrica obtenemos $$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^{n+1}-1+2(n+1)}{4}\right) x^n =\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(-1)^{n+1}+2n+1}{4}\right) x^n.\la etiqueta{2} $$ Por lo tanto $$ a_n=\frac{(-1)^{n+1}+2n+1}{4};\quad {(n\geq1)}.\la etiqueta{3} $$

Answer 5

$$ f (n) = \ left \ {\begin{array}{c} n/2, \: n \: is \: even \\ (n+1)/2, \: n \: is \: odd \\ \end {array} \ right. $$