Encuentra el espacio nulo de esta matriz.

Question

La pregunta que tengo es este:

1) Encontrar una base del espacio de soluciones del sistema lineal homogéneo.

$$x - y + 2z = 0 \\ 2x + y = 0 \\ x − 4y + 6z = 0$$

Así que convertir a una matriz:

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 6 \end{bmatrix}$$ $$ -> \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -4 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix}$$

$$ -> \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Así que esto es correcto?

Deje $z = t, y = \frac{4}{3}t, x = -2t + \frac{4}{3}t$

así:

$$ -> \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}$$ $$ -> \begin{bmatrix} \frac{-2}{3}t & \frac{4}{3}t & t \end{bmatrix}$$ $$ -> t * \begin{bmatrix} \frac{-2}{3} & \frac{4}{3} & 1 \end{bmatrix}$$

Entonces, la base es:

$$ -> \begin{bmatrix} \frac{-2}{3} & \frac{4}{3} & 1 \end{bmatrix}$$

Esto es correcto?

De manera más general, la razón por la que hacemos de esta manera es porque estamos tratando de resolver para x en la ecuación de $Ax = 0$, por lo que tenemos que reducir, la instalación de un sistema de ecuaciones que se obtienen al multiplicar a por X, el programa de instalación libre variables, extraer los coeficientes y esa es la base de la nullspace (el conjunto de todas las soluciones de Ax = 0). Hace que el sonido de la derecha?

Answer 1

Sí, se ve perfectamente bien. Dado que$\operatorname{rank}(A) = 2$, ($A$ es la forma matricial de su ecuación) significa que la dimensión del espacio nulo es igual a uno (una línea en$\mathbb{R}^3$). La base es solo un vector, que normalmente se normaliza con una norma de$1$.

Si compruebas tu solución funciona bien.

Espero que ayude.

Romain

Answer 2

Me parece que es el método correcto para obtener la base racional para el espacio nulo. La comprobación rápida también muestra que $$ \ left [\begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 6 \\ \end {matrix} \ right] \ left [\begin{matrix} -2/3 \\ 4/3 \\ 1 \\ \end {matrix} \ right] = \ left [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end {matrix} \ right] $$