¿Es cada topología funky una topología?

Question

Siempre que$X$ sea un conjunto, defina que una topología funky en$X$ es una colección de subconjuntos de$X$ que se considera "abierta" de manera tal que:

• $X$ Esta abierto.
• Si$A,B \subseteq X$ está abierto, entonces$A \cap B$ está abierto.
• Si$\mathcal{C}$ es una cubierta abierta de$X$, entonces para todos$A \subseteq X$, si $$\forall U \in \mathcal{C}(A \cap U \mbox{ is open}),$$ then $A$ está abierto.

Está claro que cada topología es una topología funky.

Pregunta. ¿Se sostiene lo contrario?

Answer 1

No. Por ejemplo,$\{X\}$ es una topología funky en cualquier conjunto$X$, pero no es una topología a menos que$X$ esté vacío.

Tampoco es suficiente asumir que el conjunto vacío está abierto. Por ejemplo, si$X=\{a,b,c\}$, entonces$\{\emptyset,\{a\},\{b\},X\}$ es una topología funky pero no una topología.