Estoy atascado en este ejemplo en el Boto v. Querenburgs "Mengentheoretische Topologie" y yo realmente apreciaría un poco de perspicacia de nuestros más topológicamente conocedores de los amigos de aquí. =)
Deje $I$ ser un conjunto ordenado, y deje $(X_j, \mathcal T_j)_{j \in I}$ ser una familia de espacios topológicos, de tal manera que para $j<k$, $j,k \in I$ tenemos:
$$X_j \subset X_k, \quad \mathcal T_j = \mathcal T_k|X_j$$
es decir, la topología en $X_j$ es inducida por la inyección de $i_{jk}: X_j \hookrightarrow X_k$ a partir de la topología en $X_k$.
En $X = \bigcup_{j\in I} X_j$ deje $\mathcal T \; $ ser la topología final con respecto a $(i_j: X_j \hookrightarrow X)_{j\in I}$; Esto se llama la topología débil en $X$.
Ejemplo: supongamos $X_n = \mathbb R^n$, y deje $X = \mathbb R^\infty$. A continuación, una secuencia $(x_k = (x_{k1}, x_{k2}, \dots ))_{k\in \mathbb N}$ converge a $x = (x_1, x_2, \dots )$ fib para cualquier fija $n$ la secuencia de $(x_{kn})_{k \in \mathbb N}$ converge a $x_n$.
Ahora yo no veo por qué la última declaración debe ser verdadera.
Primero: para conseguir una sensación para este nuevo tipo de topología, he intentado en comparación con otras topologías en $\mathbb R^\infty$ sabe que a mí (y creo que en el siguiente ya debo estar cometiendo un error...)
Supongamos $U = \prod_{n \in \mathbb N} U_n$ es abrir en el cuadro de la topología en $\mathbb R^\infty$, es decir, $U_n \subset \mathbb R$ está abierto para todos los $n$. Entonces creo que $U$ también es abierto en la topología débil: (supongo que $\mathbb R^j$ debe ser identificado con $\mathbb R^j \times 0 \times 0 \times \dots \subset \mathbb R^\infty$, ¿verdad?)
Pero, a continuación, $i_j^{-1}(U) = \emptyset$ si $0 \notin U_n$ algunos $n>j$ $i_j^{-1}(U) = U_1 \times \dots \times U_j$ lo contrario. Ambos de los cuales están abiertos en $\mathbb R^j$, lo $U$ debe estar abierto en la topología final w.r.t. las inclusiones $i_j$.
Ahora considere la secuencia
$$x_j = \underset{\text{j-th component}}{(0, \dots, 0,\underbrace{1}, 0, 0, \dots)}$$
Claramente $x_j$ converge a $(0, 0,\dots)$ de las componentes, sino $x_j$ no convergen en el cuadro de topología, por lo tanto, ni en la más fina que la topología de la introdujo en el ejemplo (la topología débil).
Entonces, ¿dónde está el argumento de arriba mal? Lo que no estoy entendiendo bien acerca de esta topología?
Muchas, muchas gracias de antemano por cualquier útiles comentarios y respuestas.
Saludos,
S. L.
