Encuentra el resto cuando$123412341234$ ... (escrito$1234$ veces) es divisible por$13$

Question

Encuentra el resto cuando$123412341234$ ... (escrito$1234$ veces) es divisible por$13$

Dividí$1234$ por$13$ y obtuve la respuesta$12$, ¿cuál es la respuesta correcta pero cuál es el enfoque detrás de la solución de esta?

Answer 1

\begin{eqnarray*} 1234 \equiv 12 \pmod {13} \\ 12340000 \equiv 10 \pmod {13} \\ 123400000000 \equiv 4 \pmod {13} \\ \end {eqnarray *} Ahora note que$12+10+4$ es divisible por$13$, así que cada vez que elimine$123412341234$ al final del número, su divisiblidad por$13$ no cambiamos ... para que podamos descartar el primer$1233$$1234$ 's, así que solo debemos considerar el primer$1234$, que ya hemos visto para dar un resto de$12$ cuando se divide por$13$.

Entonces la respuesta es$\color{red}{12}$

Answer 2

$\underbrace{1234}_{\text{written } 1234\text{times}}\cdots=1234\sum_{r=0}^{1233}(10^3)^r$

Ahora $S=\sum_{r=0}^{1233}(10^3)^r=\dfrac{10^{3\cdot1234}-1}{10^3-1}$

Ahora $10^3\equiv-1\pmod{13}\implies10^{3\cdot1234}\equiv(-1)^{1234}\equiv1$

Como $(10^3-1,13)=1,13|S$

Answer 3

Escriba este número en un "sistema de diez mil":$$\sum_{k=0}^{1233}1234\cdot 10000^k=1234\cdot\sum_{k=0}^{1233}10000^k.$$ Then it is enough to find the remainders of $ 1234$ and the powers of $ 10000 $, que es una tarea muy fácil.

Mientras tanto, he encontrado una mejor respuesta: observe que$10000^3$ da el resto$1$ y$123412341234$ es divisible por$13$. Esto muestra que nuestro número es divisible por$13$ !!!. Ver:

$$ 123412341234 \ cdot \ sum_ {k = 0} ^ {410} (10000 ^ 3) ^ k $$

es un número con el que estamos tratando.

Answer 4

Quería ver por qué su enfoque funcionó, OP. Es decir, ¿por qué fue la respuesta$1234 \mod 13$? Esto es lo que encontré.

Hay$1234$ bloques de "$1234$" para considerar. Pero ten en cuenta que

PS

Por lo tanto, hay$$123412341234 \mod 13 = 0$ bloques de "$411$" con uno restante$123412341234$. La respuesta debe ser

PS