Tenedor de ajuste del modo de sonido: condiciones de frontera?

Question

La ecuación de movimiento de un diapasón diente está dada por: $$EI\frac{\partial^4z}{\partial x^4}+m\frac{\partial^2z}{\partial t^2}=0$$ o dicho en otras palabras: $$EIz_{xxxx}+mz_{tt}=0$$ Condiciones de contorno: $$z(0,t)=0$$ $$z_x(0,t)=0$$ $$z_{xx}(L,t)=0$$ $$z_{xxx}(L,t)=0$$ Condición inicial: $$z_t(x,0)=0$$ Utilizando el Ansatz: $$z(x,t)=X(x)T(t)$$ ... el PDE, que pueden ser separadas a: $$\frac{X''''}{X}=-\frac{m}{EI}\frac{T''}{T}=k^4$$ Así: $$X''''-k^4X=0$$ ... que tiene cuatro raíces: $+k$, $-k$, $+ki$ y $-ki$ y la solución general: $$X=A\cosh kx+B\sinh kx+C\cos kx+D\sin kx$$ Utilizando las condiciones de contorno, se obtiene: $$B=\frac{\sinh kL-\sin kL}{\cosh kL+\cos kL}A=\gamma A$$ $$C=-A$$ $$D=-B$$ $$\cos kL=-\frac{1}{\cosh kL}$$ La última con la primera raíz: $$kL=0.597\pi$$ La resolución de la DE de $T(t)$ da entonces la velocidad angular y la frecuencia fundamental (no se muestra).

Para $X(x)$ entonces tenemos: $$X(x)=A(\cosh kx+\gamma \sinh kx-\cos kx-\gamma \sin kx)$$ Una dimensión de la parcela para que la primera raíz me dio:

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Pero hay varios modos de oscilación disponible a un diapasón. Dos importantes son:

A la izquierda: modo fundamental (derivado del anterior), a la derecha: modo de sonido. El último se dice que pueden ser obtenidos al golpear la campana "duro" y tiene una frecuencia de aproximadamente 6.26 veces mayor que la fundamental.

Sospecho que esta pegando "duro" de los cambios de la condición de frontera(s), dando lugar a un nuevo conjunto de coeficientes para $X(x)$. Sospecho que algunos de la condición de límite puede ser aplicado a $x=L/2$ en lugar de $x=L$, pero no se puede ver cómo golpear la campana duro puede tener ese efecto.

Nadie puede ver?

Answer 1

Basado en T. D. Rossing, D. A. Russell, y D. E. Brown, "Sobre la acústica de los diapasones," Am. J. Phys. 60 , 620-626 ~ 1992, me iba a la conclusión de que el fundamento y el "sonido" modos tanto en el plano de los modos (X plano en cuestiones de notación ) y tienen las mismas condiciones de contorno.

Así que no creo que el "sonido" modo posee una condición de contorno del modo fundamental. Simplemente son diferentes los modos normales de vibración , el "fundamental" el modo de ser de los primeros en modo normal, y el "sonido" modo de ser el segundo modo normal (primer armónico es en realidad un nombre inapropiado aquí como las frecuencias no armónicas). Ambos modos tienen condiciones de contorno de tratamiento de la horquilla como una viga en voladizo (es decir. uno de los extremos, el extremo del tallo, fijo).

Sospecho que el comentario acerca de golpear la horquilla duro para excitar el "sonido" de modo que realmente se refiere a excitar el movimiento de la "clang" modo de golpear el conjunto de la horquilla en una superficie dura. Esto animaría movimiento en los antinodos de la "clang" modo a lo largo de la horquilla , ya que se han longitud de onda más corta que la del modo fundamental. El modo fundamental sería la mejor forma de estar emocionado por tocar el extremo abierto de la horquilla.

Es similar en la idea emocionante armónicos naturales en una guitarra - fijar la cuerda en el traste 12 con el dedo y desplumar a lo largo de la cadena, emocionante que en el antenodo.

El tratamiento por @Gert en la pregunta es el uso de Euler-Bernoulli (E-B) la teoría de vigas. Hay una decente artículo de la Wikipedia sobre este en el que el plano transversal modos normales de vibración de una barra en voladizo (gratis en uno de los extremos, se fija en el otro extremo, en este caso,$x=0$) se calculan y se representan.

Aquí está el diagrama de la forma de la barra de desplazamiento debido a la vibración, para los primeros modos normales (normalizada a la longitud de la barra de estar 1.0) de un artículo de Wikipedia:

El modo 1 es el modo fundamental y no tiene ningún nodo o antenodo lo largo de la barra.

El modo 2 es el siguiente en modo normal (el "sonido" modo) y muestra un nodo (cero desplazamiento) justo por debajo de 0.8 veces la longitud de la barra, y un antenodo (máximo local de desplazamiento) a una distancia más corta a lo largo de la barra.

El orden más alto de modos normales también muestran los nodos y antinodos lo largo de la barra.

La declaración de que el ruido en el modo de desplazamiento no muestra optima o raíces para $x<L$ no es coherente con el segundo dibujo de la horquilla vibratoria en la pregunta mostrando el ruido de modo de tener un máximo y un mínimo de desplazamiento a lo largo de la longitud de la horquilla. Cada término en el E-B de la ecuación solución realidad, debería tener una constante diferente.

Por supuesto, tanto el análisis de un diapasón en términos de una solución analítica mediante Euler-Bernoulli teoría, y en analogía a una barra en voladizo, son aproximaciones. Una forma más precisa de tratamiento el uso de la viga de Timoshenko teoría y análisis de elementos finitos para encontrar una solución.