Una EDO de enésimo orden tiene n soluciones linealmente independientes

Question

MathWorld estados:

"En general, un $n^\text{th}$ -tiene $n$ soluciones linealmente independientes".

¿Se refieren a EDO lineales? Sólo sé por qué debería ser cierto para ODEs con coeficientes constantes, por las siguientes observaciones:

Las soluciones de la ecuación diferencial $a_0f+\dots +a_nf^{(n)}=0$ donde $a_n\ne 0$ forman un espacio vectorial $V$ (comprobar).

Sea $f\in C^n(\mathbb{R})$ s.t. $a_0f+\dots +a_nf^{(n)}=0$ donde $a_n\ne 0$ .

Sea $\vec{a}=(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$ y $\vec{f}=(f,f^{(1)},\dots,f^{(n-1)})$ .

$f^{(n)}=-a_n^{-1}(a_0f+\dots +a_{n-1}f^{(n-1)})=-a_n^{-1}\vec{a}\cdot\vec{f}$ es diferenciable, y la $m^\text{th}$ derivado de $\vec{b}\cdot\vec{f}$ es:

$$\vec b\left(\matrix{\vec{e_2}\\\vdots\\\vec{e_n}\\-a_n^{-1}\vec{a}}\right)^m\cdot \vec{f}$$

Por lo tanto $f$ es infinitamente diferenciable. Además, los coeficientes anteriores están acotados por una exponencial en $m$ . Para cualquier intervalo cerrado $[-d,d]$ , $\vec{f}$ es continua y, por tanto, acotada. Esto significa que la serie de Taylor para $f$ converge a $f$ en el intervalo por el teorema de Taylor para la expansión sobre $x=0$ (utilizando la forma de Lagrange del resto en todo el intervalo). Por lo tanto, la serie de Taylor para $f$ acerca de $x=0$ converge a $f$ para todos $\mathbb{R}$ es decir $f$ es analítica.

Consideremos ahora la transformación lineal $L:V\to\mathbb{R}^n,f\mapsto (f(0),f^{(1)}(0),\dots,f^{(n-1)}(0))$ . Para demostrar la subjetividad, utilice la ecuación diferencial para producir una serie de Taylor y demuestre que es una solución. La inyectividad se demuestra por lo siguiente:

Si $L(f)=L(g)$ para algunas soluciones $f,g$ entonces $\forall k=0,1,\dots,n-1, f^{(k)}(0)=g^{(k)}(0)$ y por la ecuación diferencial, esto también se cumple para todo $k\in\mathbb{N}$ . $f$ y $g$ son analíticas y como la serie de Taylor es única, $f=g$ .

Por lo tanto, $V$ tiene dimensión $n$ .

¿Es correcta mi prueba?

¿Es cierto el teorema de las EDO lineales generales y cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Su prueba ahora es buena. Para el sistema homogéneo de coeficiente no constante $$a_n(t)x^{(n)}+\cdots +a_0(t)x=0$$ las soluciones vuelven a formar un espacio vectorial, no hay nada diferente en este sentido. ¿Cómo hallar su dimensión (en particular, demostrar que la dimensión no es cero)?

Una forma muy sencilla de proceder es reescribirla como una ecuación vectorial de primer orden introduciendo las variables $x_1=x',\cdots$ . Se obtiene así la ecuación de primer orden $$X'(t)=A(t)X(t).$$ Aquí la función $A$ se supone que se comporta bien a partir de algún intervalo $(a,b)$ al espacio de Banach $\mathbb{R}^n$ por ejemplo, tomando las entradas como Lipschitz y $a_n(t)\neq 0$ en $(a,b)$ para evitar el lugar degenerado (de hecho, supongamos que $a_i/a_n(t)$ también son Lipschitz en el intervalo). Entonces podemos formar cualquier PIV que queramos $$X'=A(t)X(t),\quad X(0)=X_0$$ y el teorema de Picard-Lindelof proporciona una solución única con la condición inicial $X_0$ (si se intenta simplificar la demostración de P-L para sistemas lineales, se acaba teniendo que realizar el proceso crucial de aproximación y demostrar la convergencia uniforme, que es el gran problema de P-L).

Pero ahora el hecho de que se puedan encontrar soluciones correspondientes a $n$ opciones linealmente independientes de $X_0$ implica que el espacio vectorial de soluciones es exactamente $n$ -por el teorema del Wronskiano (el Wronskiano de $n$ es idénticamente cero o nunca cero; si los vectores iniciales $X_0$ son linealmente independientes, el Wronskiano es distinto de cero en algún lugar por lo que nunca es cero en $(a,b)$ y, por tanto, las soluciones son independientes).