Para responder a la pregunta que usted me hizo (más o menos, "¿puedo intercambiar el límite de la integral?"), Yo no tengo ni idea. Hay algunos casos donde puede, y nunca puedo recordar las reglas. Tuve un alumno que se llama como swaps "ingeniero de la facultad," pero creo que esto es un poco cruel para los ingenieros. Estoy seguro que otros pueden señalar teoremas. Pero a menudo es más fácil hacer las cosas a mano.
Si en lugar de mirar a
\begin{align}
C(x) - C(x_0)
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x-t)g(t)~dt - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x_0-t)g(t)~dt\\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} [f(x-t) - f(x_0 - t)]\cdot g(t)~dt\\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} [f((x-x_0) - s) - f(-s)]\cdot g(x_0 + s)~ds
\end{align}
se puede estimar que el integrando: Desde $f$ es continua en el conjunto compacto $[0,2\pi]$, es uniformemente continua. Así, por $\epsilon > 0$, hay un $\delta$ tal que $|p - q| < \delta$ implica $|f(p) - f(q)| < \epsilon$. Además, debido a $g$ es integrable, entonces es $|g|$ (explicación.) Eso significa que para $|x - x_0| < \delta$, tenemos
\begin{align}
| C(x) - C(x_0) |
&= \frac{1}{2\pi} |\int_0^{2\pi} [f((x-x_0) - s) - f(-s)]\cdot g(x_0 + s)ds| \\
&\le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |[f((x-x_0) - s) - f(-s)]\cdot g(x_0 + s)|ds \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \epsilon \cdot |g(x_0 + s)|ds \\
&= \epsilon \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g(x_0 + s)| ds \\
&= \epsilon \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g(s)| ds \text{, by periodicity}\\
&= \epsilon M
\end{align}
donde $M$ es la integral de la $|g|$.
Así que como $\epsilon$ llega a cero, la diferencia va a $0$ $C$ es continua en a $x_0$.
