Transformaciones naturales Monic (epi)

Question

Deje $C$ $D$ categorías y dejar $F : C \rightarrow D$, $G : C \rightarrow D$ dos functors de tal manera que se de cualquiera de los dos covariante o ambos contravariante. En virtud de lo que la mayoría de las hipótesis generales es la siguiente declaración es siempre cierto:

Una transformación natural $\eta : F \rightarrow G$ es un monomorphism (epimorphism) iff cada componente de la transformación natural es un monomorphism (epimorphism).

Lo que me gustaría saber son las más débiles posibles restricciones en $C$ $D$ para que el delantero implicación tiene.

También, puede que alguien me dirija a una fuente en la que se explica esto?

Tal vez debería hablar de cómo me surgió esta pregunta. Yo estaba tratando de mostrar que si $X$ es un espacio topológico y $F, G$ son poleas de los conjuntos en $X$, entonces una de morfismos de poleas $\eta: F \rightarrow G$ es un monomorphism si y sólo si la inducida por los mapas sobre los tallos son inyectiva (**).

Probablemente hay una manera de probar esto sin usar el hecho de que los componentes de $\eta$ son monic (es decir, inyectiva conjunto de funciones, en este caso), pero ya sé que a partir de un argumento mediante el Yoneda Lema que en este caso en particular, porque mi objetivo es la categoría de la categoría de conjuntos, $\eta$ es un monomorphism si y sólo si cada uno de sus componentes (y la prueba de (**) es bastante elemental, una vez que sé de este hecho).

Además, yo no soy consciente de que una prueba del hecho de que $\eta$ es un epimorphism iff cada componente de $\eta$ es un epimorphism, incluso cuando el objetivo de la categoría es la categoría de conjuntos. Así, es esta afirmación verdadera cuando el objetivo de la categoría es la categoría de conjuntos?

(Más tarde edit: Después de iniciar una recompensa en esta pregunta, me di cuenta de que podría no ser posible para dar a los más débiles de lo posible las condiciones en las categorías $C$$D$, como yo lo estoy buscando. En ese caso, cualquier conocimiento de las condiciones en $C$ $D$ por lo que mi pregunta tiene también será suficiente.)

Answer 1

Afirmo que, si $\mathcal{D}$ admite arbitraria co-productos, entonces para cualquier $c \in \mathcal{C}, d \in \mathcal{D}$, no es un objeto $h_{c,d} \in \mathrm{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ tal que $\hom(h_{c,d}, G) = \hom(d, Gc)$. Dado un objeto $h_{c,d}$, se deduce que un monomorphism de functors $G \to G'$ debe tener la propiedad de que la $\hom(d, Gc) \to \hom(d, G'c)$ es inyectiva para cada par de objetos de $d, c$, lo que significa que usted tiene una pointwise monomorphism (es decir, $Gc \to G'c$ es un monomorphism). Para conseguir un functor, imitar el Yoneda lema: vamos a $h_{c,d}(c') = \hom(c, c') \times d$ (desde $\mathcal{D}$ admite arbitraria co-productos, es tensored sobre los conjuntos y el anterior tiene sentido). Ahora debido a un arbitrario functor $G$ e da $d \to Gc$, se extiende a $h_{c,d}(\cdot) = \hom(c, \cdot) \times d \G$ en la forma natural. No voy a escribir los detalles, pero si no estoy haciendo el tonto, a continuación, lo que yo dije es cierto.

Ahora a la pregunta sobre epimorphisms. Idealmente, quiero decir que no es un functor $h'_{c,d}$ de manera tal que la asignación a una de otra functor $G$ es lo mismo que dar un mapa de $Gc \to d$. En otras palabras, si tomamos el functor de $\mathrm{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ $\mathcal{D}$dado por "evaluación" a $c$, entonces no es un derecho medico adjunto a la presente evaluación (antes de la $h_{c,d}$ construcción de manifiesto que no existe una izquierda adjunto). Si hay un derecho adjoint, entonces hemos terminado.

De hecho, vamos a estado todo el argumento más categóricamente:

A la izquierda adjunto conserva epimorphisms. Un derecho adjoint conserva monomorphisms.

Esto no es difícil en absoluto (si $(F, G)$ es una contigüidad y $c \to c'$ es un epimorphism, entonces tenemos que mostrar que $Fc \to Fc'$ es demasiado; es decir, $\hom(Fc', d) \to \hom(Fc, d)$ siempre es una inyección de conjuntos. Pero esto es $\hom(c,' Gd) \to \hom(c, Gd)$).

Así que el punto de la discusión anterior es que si $\mathcal{D}$ admite co-productos, luego de la evaluación functor en $c$, $\mathrm{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{D}) \to \mathcal{D}$ es un derecho adjuntos. Por lo tanto se envía "global" monomorphisms de functors a monomorphisms por la evaluación en cada una de las $c \in \mathcal{C}$, y por lo tanto "global" monomorphisms son "pointwise" epimorphisms. (A la inversa, como se observó, es fácil.) Ahora podemos tratar de la misma cosa para epimorphisms. Como en el anterior, el punto principal es la construcción de un derecho medico adjunto a la evaluación functor. Esto se puede hacer siempre que $\mathcal{D}$ tiene todos los productos. Es decir, dado $c ,d$, consideramos que el functor $c \mapsto d^{\hom(c, c')}$. Uno puede comprobar que este tiene el análogo universal de los bienes a $h_{c,d}$ anterior, y que define a la izquierda adjunto a la evaluación functor. Por lo tanto, si la categoría de $\mathcal{D}$ ha arbitraria productos, entonces epimorphisms de transformaciones naturales son pointwise epimorphisms.

Uno puede pedirle a la pregunta más general: si $F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ es un functor, cuando es $F_*: \mathrm{Fun}(\mathcal{C}', \mathcal{D}) \to \mathrm{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ a la izquierda o a la derecha adjunto? La respuesta es que si $\mathcal{D}$ es cocomplete y completa, es ambas cosas. Desde la "baja de la estrella" preserva límites y colimits (que se calculan pointwise, después de todo). Algunos ejemplos concretos son la menor de la estrella y la parte superior de la estrella de pre(!)gavilla de la teoría, y el esqueleto y coskeleton functors en simplicial conjuntos.

No estoy seguro de cuál es la respuesta a su pregunta es sin tales supuestos en $\mathcal{D}$.