Cómo resolver la ecuación diferencial: $x \frac{d^2y}{dx^2}+2(3x+1)\frac{dy}{dx}+3y(3x+2)=18x$

Question

Cómo resolver la ecuación diferencial $$x \frac{d^2y}{dx^2}+2(3x+1)\frac{dy}{dx}+3y(3x+2)=18x$$

Creo que podría dejar $u=xy$ pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Su idea original es correcta. Si sustituye $u=xy$ se obtiene $$\frac{du}{dx}=x\frac{dy}{dx}+y$$ y $$\frac{d^2u}{dx^2}=x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}$$

La ecuación diferencial original se convierte entonces en $$\frac{d^2u}{dx^2}+6\frac{du}{dx}+9u=18x$$

¿Puedes terminar esto ahora?

Answer 2

Dado que una solución particular $e^{-3x}$ de la EDO homogénea asociada (es decir, con el término de la derecha $=0$ en lugar de $18x$ ), ya se ha encontrado el problema se simplifica mucho.

Esto nos lleva al cambio de función: $\quad y(x)=f(x)e^{-3x}$

$y'=(f'-3f)e^{-3x}$

$y''=(f''-6f'+9f)e^{-3x}$

$x y'' +2(3x+1)y' +3y(3x+2)=\left( x(f''-6f'+9f)+2(3x+1)(f'-3f)+3(3x+2)f\right)e^{-3x}=18x$

Tras la simplificación :

$$\left( xf''+2f'\right)e^{-3x}=18x$$

Dejemos que $f'=u $ $$xu'+2u=18xe^{3x}$$

Se trata de una EDO de primer orden, lineal y no homogénea que puedes resolver, supongo.

Obtendrá $u(x)$ sin olvidar una constante de integración $c_1$ en él.

Entonces $\quad f(x) = \int u(x)dx +c_2$

Y finalmente $\quad y(x)=f(x)e^{-3x}\quad$ con dos constantes $c_1$ y $c_2$ en él.

Answer 3

Dejar $y=\frac{u(x)}{xe^{3x}}$ da $$ u''=18xe^{3x}. $$ Así, $$ u'(x)=\int 18xe^{3x}dx=2(3x-1)e^{3x}+C_1$$ y por lo tanto $$ u(x)=\int 2(3x-1)e^{3x}+C_1x+C_2=2e^{3x}(x-\frac23)+C_1x+C_2.$$ Por lo tanto, $$ y=\frac{1}{xe^{3x}}(2e^{3x}(x-\frac23)+C_1x+C_2). $$