encontrar todos los functiions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f'$ existe y $$f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}.f'(x),\forall x\in\mathbb{R}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Desde $f'(x)$ existe, podemos utilizar el valor medio teorema : para $x \neq 0$ existe $c$ estrictamente entre el $x/2$ $x$ tal que $$ (x/2) f'(c) = f(x) - f(x/2) = (x/2) f'(x) \implica que f'(c) = f'(x). $$ En particular, el hecho de que $$ f'(x) = \frac 1x [ 2 f(x) - 2 f'(x) ] $$ implica que $f$ es suave para $x \neq 0$ (es decir, infinitamente muchas veces diferenciable). Por lo tanto, para $x > 0$ existe $c$ $x/2 < c < x$ tal que $f'(c) = f'(x)$. Supongamos que $$ \alpha \desbordado{def}= \inf \{ c > 0 \, | \, f'(c) = f'(x) \} > 0. $$ Entonces, por la ecuación anterior, hay un $c$ $\alpha$ $\alpha/2$ tal que $f'(c) = f'(\alpha)$. Por la continuidad de $f'$, $f'(\alpha) = f'(x)$ (tenga en cuenta que, por definición, de la infimum, existe una secuencia $c_n$$c_n \searrow \alpha$$f'(c_n) = f'(x)$), lo que contradice la definición de $\alpha$ desde $c < \alpha$$f'(c) = f'(x) = f'(\alpha)$. Por lo tanto,$\alpha = 0$.
Por definición de $\alpha$, existe una secuencia $x_n > 0$$f'(x_n) = f'(x)$$x_n \searrow 0$, por lo tanto $f'(0) = \lim_{n \to \infty} f'(x_n) = f'(x)$. De ello se desprende que $f(x) = ax + b$$x > 0$, y por la continuidad de las $x \ge 0$.
Por el contrario, para cualesquiera números reales $a,b$, $f(x) = ax+b$ es una solución a la ecuación de $x \ge 0$. Por lo tanto, esta es, precisamente, el conjunto de todas las soluciones en este caso.
Repita el procedimiento para $x \le 0$ a la conclusión de que la $f'(x) = cx + d$ al $x \le 0$. Por la continuidad y la diferenciabilidad en $0$, $a=c$ y $b=d$. Esto significa que las únicas soluciones son las afín a las funciones, es decir, las funciones de la forma $f(x) = ax+b$ para los números reales $a,b$.
Espero que ayude,
