encontrar un grupo con la propiedad :

Question

a)encontrar un grupo no trivial $G$ tal que $G$ es isomorfo a $G \times G $

lo que estoy seguro es que $G$ debe ser infinita ! pero ahora tienen idea de cómo obtener o construir un grupo de este tipo elegí muchos $G$'s, pero todos los de la homomorphism no inyectiva

b) una infinita grupo en el que cada elemento tiene orden finito, pero para cada entero positivo n, existe un elemento de orden n

el grupo $G = (Z_1 \times Z_2 \times Z_3 \times Z_4 \times ...) $ satisface las condiciones, excepto la que dice que cada elemento tiene orden finito .

¿cómo podemos utilizar este grupo para llegar a la pidió al grupo ?

Answer 1

Muy buena pregunta!

Tienes algunas de las respuestas a $(b)$. Con respecto a responder a $(a)$, (que es, de hecho, una pregunta difícil de contestar):

Creo que usted encontrará el siguiente post de MathOverflow muy útil:

Hay un finitely generado grupo no trivial $G$ tal que $G\cong G\times G$?

Se preguntó por Martin Brandeburgo, y hay dos excelentes respuestas (afirmativas).

Answer 2

Creo que para b, usted puede considerar la posibilidad de $G=\mathbb Z(p^{\infty})$ donde $p$ es un excelente así.

Answer 3

Para el segundo problema, puede utilizar el subgrupo de $\mathbb{Z}_1\times \mathbb{Z}_2\times \cdots\times \mathbb{Z}_n \times \cdot$ que consta de todas las secuencias $(a_1,a_2,a_3,\dots)$ tal que todos, pero un número finito de la $a_i$$0$.