La existencia de un simétrica subconjunto $B\subseteq A$ tal que $2A-A\subseteq 8A$

Question

Deje $A$ ser un abierto no vacío conectado subconjunto de a (real) espacio vectorial topológico $X$ tales que $$2A-A \subseteq 8A$$ (for instance one could take $A=(-1,2)$).

Pregunta. Es cierto que existe un abierto no vacío conectado conjunto $B\subseteq A$ tal que $B$, además, es simétrico (es decir, $B=-B$)?

Answer 1

Tengo muchas ideas de los comentarios, pero he tenido que verificar los detalles, y para modificar y agregar algunos elementos a convencerme de que la respuesta es sí (como se muestra a continuación).

Así que tenemos $\frac A8\subseteq \frac A4 - \frac A8\subseteq A$ (por lo tanto, $\frac A8\subseteq A$, también se $\frac A{64}\subseteq \frac A8$, y, por inducción, $\frac A{8^n}\subseteq A$ para todos los $n\ge1$). Desde $A$ es abierto, no es difícil ver que si $C$ es el cierre de $A$ , a continuación, también se $\frac A4 - \frac C8=\frac A4 - \frac A8\subseteq A$ (los detalles se proporcionan en un corolario cerca del final). Si $a\in A$ , a continuación, la secuencia de $\frac a{8^n}$ converge a $0$ (creo que incluso en la general TV (sí, de referencia en un comentario más abajo por OP)), por lo $0\in C$. Por lo tanto $\frac A4=\frac A4-0 \subseteq\frac A4 - \frac C8=\frac A4 - \frac A8\subseteq A$. Por lo tanto tenemos:

(i) $\frac A{32} \subseteq \frac A4$ porque $\frac A8\subseteq A$,

(ii) $\frac A{32} \subseteq \frac A8$ porque $\frac A4 \subseteq A$, y

(iii) $\frac A4 - \frac A8\subseteq A$.

Utilizando la anterior obtenemos $\frac A{32} - \frac A{32} \subseteq \frac A4 - \frac A8 \subseteq A$. Así el conjunto $B=\frac A{32} - \frac A{32}$ obras. Claramente es simétrica, y es abierto y conectado: está conectado, ya que es la imagen continua de $A\times A$ bajo la sustracción de la función (y la división por $32$), y el espacio del producto $A\times A$ está conectado ya que los factores que son.

He aquí algunos detalles sobre la condición de que $\frac A4\subseteq A$, que se utilizó en la anterior prueba. Una manera de demostrar que es sin una referencia para el cierre de la $C$ de $A$, como sigue.

La reclamación. $\frac A4 \subseteq A$ (o, equivalentemente, $2A\subseteq8A$).

Prueba. Tomar cualquier $a\in A$, tenemos que mostrar que $2a\in 8A$. Desde $A$ es abierto, no es $n$ tal que $a+\frac a{2\cdot8^n}\in A$. A continuación, $2a=2(a+\frac a{2\cdot8^n})-\frac a{8^n}\in 2A-A\subseteq 8A$. Esto completa la prueba de la Reclamación.

Aquí es una forma alternativa de mostrar que $2A\subseteq8A$. Mostrar que $2A-A=2A-C$ (donde $A$ es abierto y $C$ es el cierre de $A$). (Luego, ya $0\in C$ obtenemos que $2A\subseteq2A-C=2A-A\subseteq8A$.)

Lema. Si $U$ es abierto y $K$ es arbitrario, a continuación, $U+\overline K= U+K$ (donde $\overline K$ es el cierre de $K$).

Prueba. Elija cualquiera de los $p\in U+\overline K$. Entonces $p=q+r$ para algunos $q\in U$ e $r\in\overline K$. Desde $U$ es abierto, existe un simétrica vecindario $V$ de $0$ tal que $q+V\subseteq U$. Pick $s\in(r+V)\cap K$. A continuación, $v=s-r\in V$ lo $-v\in-V=V$ e $q-v\in U$, por lo tanto $p=q+r=q-v+r+v=(q-v)+s\in U+K$. Por lo tanto $U+\overline K\subseteq U+K$ e $U+\overline K=U+K$.

Corolario. Si $A$ es abierto y $C$ es el cierre de $A$ entonces $2A-C=2A-A$. (Así que, si, además, $2A-A\subseteq8A$ donde $A$ es abierto y no vacío, a continuación, $2A\subseteq2A-C=2A-A\subseteq8A$, el uso de ese $0\in C$ para la primera inclusión.)

Prueba. Utilizar el Lema con $U=2A$ e $K=-A$.

Discusión. Por lo que la inclusión $2A\subseteq8A$ fue dado de dos pruebas diferentes, uno directo y otro con el cierre de la $C$ de $A$, junto con el mencionado lema y el corolario (proporcionando una alternativa más rápida, al menos para mí). Yo no sabía (de antemano) si $0\in A$, y no lo uso en mi prueba (aunque eventualmente se desprende de $0\in\frac A{32}-\frac A{32}=B\subseteq A$), y no sé si $A\cap(-A)$ debe estar conectado (suponiendo que $A$ es abierto y $2A-A\subseteq8A$). Un ejemplo, cuando $A\cap(-A)$ no necesita estar conectado fue proporcionada por otro usuario en los comentarios de arriba, $A$ es la unión de las dos cerrados superior semicírculos en el plano, de radio $1$ con centros en a$(\pm1,0)$, pero esto $A$ no está abierto y $2A-A\not\subseteq8A$. (Los dos semicírculos fácilmente podría ser abiertos, por `engrosamiento" un poco, pero no está claro para mí en la actualidad si pudiéramos también te $2A-A\subseteq8A$, y aún no ha $A\cap(-A)$ desconectado). Uno de los más comentario: Si $0\in A$ (donde $A$ es abierto) y si trabajamos en un localmente conectado el espacio, entonces el componente conectado de $A\cap(-A)$ contiene $0$ estaría abierta y simétrica (por lo que este componente podría jugar el papel de $B$). Pero, tenemos que asumir alguna condición adicional (por ejemplo, $2A-A\subseteq8A$) para mostrar que $0\in A$, y aunque sabíamos que $0\in A$, puede que no sea inmediatamente claro cómo $A\cap(-A)$ posiblemente podría ayudar, si el espacio no está conectado localmente. (Yo sería curioso ver una prueba - si es que hay uno basado en el uso de $A\cap(-A)$, mostrando que está conectado, o que contiene un conectado, abra simétrica set).