¿Por qué $\binom{10}{7} = \frac{10!}{(10-7)!7!}$

Question

Nos acabamos de enterar: $\dbinom{10}{7}= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$ para que..:

Si se lanza un dado 10 veces, la probabilidad de obtener $6$ , $7$ de los tiempos es: $\dbinom{10}{7} \times {\frac{1}{6}}^7 \times {\frac{5}{6}}^3$ porque $\dbinom{10}{7}$ nos dará el número de formas diferentes en que se puede obtener $7$ "correcto" de $10$ .

Me pregunto por qué funciona esto. ¿Por qué $\dbinom{10}{7}$ ¿funciona como lo hace? (En mi búsqueda me topé con esta forma de escribirlo: $\dbinom{10}{7} = \frac{10!}{(10-7)!7!}$ . Es un poco diferente, pero tal vez sea más correcto.

Answer 1

Escribí la respuesta que figura a continuación mientras usted seguía editando su mensaje, y me di cuenta después de terminar de escribirla de que tal vez no había entendido el sentido de su pregunta. Mi respuesta pretendía ser una explicación de la presencia del $\binom{10}{7}$ en la fórmula de la probabilidad de sacar exactamente siete 6 en 10 lanzamientos. Mirando a su puesto revisado, parece que su verdadera pregunta puede ser acerca de por qué $\binom{10}{7}$ se computa de la manera que es. Intentaré responder a esta segunda pregunta a continuación.

Primero mi respuesta original:

El objetivo de la $\binom{10}{7}$ es contar el número de órdenes diferentes en que pueden aparecer los siete 6 y los tres no 6 en 10 lanzamientos.

Tomemos un ejemplo más pequeño: la probabilidad de sacar exactamente tres 6 en cinco lanzamientos es $\binom{5}{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^2$ . El factor $\binom{5}{3}=10$ es el número de secuencias de lanzamientos que contienen exactamente tres 6 y dos no 6. Sea "N" para los no 6. Entonces estas diez secuencias son

666NN
66N6N
66NN6
6N66N
6N6N6
6NN66
N666N
N66N6
N6N66
NN666.

Cada una de las secuencias enumeradas tiene una probabilidad $\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^2$ de ocurrir, por lo que la probabilidad total de lanzar tres 6s es $\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^2+\ldots+\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^2$ (la suma contiene $\binom{5}{3}$ términos). Esto da como resultado $\binom{5}{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^2$ como la probabilidad.

Para ver por qué $\binom{5}{3}$ da el número correcto de secuencias, observe que cada una de las secuencias se especifica eligiendo, de las cinco posiciones disponibles, cuáles son las tres que contendrán 6. También hay que elegir dos posiciones para los N, pero una vez elegidas las posiciones de los 6, sólo quedan dos posiciones para elegir. Por lo tanto, hay $\binom{5}{3}\cdot \binom{2}{2}=\binom{5}{3}$ formas de hacer estas elecciones (ya que $\binom{2}{2}=1$ ). Para dar un ejemplo concreto de cómo el proceso de selección anterior da lugar a una secuencia: la secuencia 6N66N se formaría si el conjunto $\{1,3,4\}$ fueron elegidos para las posiciones de los 6s, dejando $\{2,5\}$ como el conjunto de posiciones de los Ns.

Explicación para el cálculo de $\binom{10}{7}$ : La expresión $\binom{n}{r}$ (leer ' $n$ elija $r$ ') es igual al número de subconjuntos de tamaño $r$ que puede seleccionarse de un conjunto de tamaños $n$ . Esto se utilizó anteriormente cuando calculamos el número de formas de seleccionar un conjunto de tres posiciones de un conjunto de cinco posiciones posibles. Se observa que $$ \binom{10}{7}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}, $$ y preguntar si la fórmula $\binom{10}{7}=\frac{10!}{(10-7)!7!}$ es más correcto. De hecho, ambas son correctas. Esta última puede reescribirse como $\frac{10!/(10-7)!}{7!}$ que coincide con la primera, ya que tanto los numeradores como los denominadores de las dos expresiones coinciden. Para ver que los numeradores coinciden: $$ \begin{aligned} 10!/(10-7)!=10!/3!&=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1}\\ &=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot(3\cdot2\cdot1)}{3\cdot2\cdot1}\\ &=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4. \end{aligned} $$ Este numerador es el número de formas de colocar siete elementos elegidos de un conjunto de 10 en siete ranuras y se denota $\,_{10}P_7$ En este caso, hay 10 elementos que pueden ocupar la primera ranura, 9 que pueden ocupar la segunda ranura, y así sucesivamente, terminando con 4 elementos que pueden ocupar la séptima ranura. Como estamos tratando de contar el número de formas de seleccionar siete elementos, pero no nos importa la disposición de los elementos seleccionados, esto sobrecontabiliza masivamente: para cada selección de siete elementos estamos contando todos los $7!$ posibles órdenes en los que se podrían haber sorteado esos elementos. Para eliminar este sobreconteo, dividimos por $7!$ : $\binom{10}{7}=\frac{\,_{10}P_7}{7!}$ .

Por cierto, habrá notado que en su primera fórmula para $\binom{10}{7}$ tanto el numerador como el denominador contienen el factor $7\cdot6\cdot5\cdot4$ lo que significa que podemos cancelar este factor, dejando $\binom{10}{7}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{\,_{10}P_3}{3!}=\binom{10}{3}$ . De hecho, $\binom{n}{r}$ siempre es igual a $\binom{n}{n-r}$ y es un buen atajo para tomar el menor de los $r$ y $n-r$ al calcular $\binom{n}{r}$ .

Esta igualdad se puede demostrar algebraicamente inspeccionando su segunda fórmula $\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$ y preguntando qué pasa cuando $r$ se sustituye por $n-r$ . (De hecho, nada cambia, salvo el orden de los factores en el denominador). Una explicación más conceptual es que el número de formas de seleccionar siete elementos de 10 (y por tanto de dejar tres elementos) es el mismo que el número de formas de seleccionar tres elementos de 10 (y por tanto de dejar siete elementos).

Answer 2

Esto es bastante difícil de comunicar con texto, pero lo intentaré. Es importante entender cada punto por separado, ya que cada uno se deriva del anterior. Por favor, comenta si tienes alguna duda sobre algo que no esté claro:

1. En primer lugar, piense en la cantidad de formas que existen para organizar ABCDE ? Tal vez esté claro que hay $5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 5! = 120$ permutaciones ? Si no, podríamos empezar con un ejemplo más corto, como ABC .

2. Entonces (¡una vez que has entendido el primer punto!), ¿cuántas formas hay de organizar AACDE ? Bueno, todavía hay $5! = 120$ permutaciones . Pero, algunos de estos arreglos son los mismos. De hecho, estamos contando doblemente, porque los dos A -s pueden aparecer en cualquier orden. Así que, de hecho, hay $5!/2 = 60$ combinaciones .

3. ¿Cuántas formas hay de organizar AAADE ? Todavía hay $5! = 120$ permutaciones pero ahora cada arreglo se cuenta 6 veces. Porque hay $3! = 6$ formas de organizar el A -s. Por lo tanto, hay $5!/3! = 20$ combinaciones .

4. ¿Cuántas formas hay de organizar AAADD ? Todavía hay $5! = 120$ permutaciones pero hay 6 formas de organizar el A -s (seis veces contadas), y 2 formas de organizar el D -s (doble contabilidad). De hecho, cada disposición distinta se cuenta ahora $6\times 2 = 12$ veces. En otras palabras, hay $5!/(3!2!)$ combinaciones aquí.

5. Si estamos interesados en permutaciones o combinaciones depende de si nos importa el orden de los resultados. Si sólo estamos contando el número de 6s, no nos importa el orden, sólo nos importa cuántos 6s hemos obtenido. Por lo tanto, debemos comprobar el combinaciones .

6. Si llama a A el resultado de obtener un 6, y B el resultado de obtener cualquier cosa que no sea un 6, entonces estamos tratando de encontrar el número de combinaciones de A -s y B -s, como en la parte 4 anterior. Podemos extender esta idea a cualquier número, como 10 dados y contar 7 seises.

Espero que esté claro cómo esto conduce a la idea de un coeficiente binomial.