$A:= \{y \in X | f(x) = f(y) \text{ for all measurable } f : X \longrightarrow \mathbb R\}$ es un átomo

Question

Mi definición de un átomo : $A \in \mathcal U$ atom de espacio medible ($ X, \mathcal U$) si de $A \supseteq B \in \mathcal U$ se sigue que $B=A $ o $B = \emptyset$

Pregunta :

Para cualquier $x \in X$ se sigue que $A:= \{y \in X | f(x) = f(y) \text{ for all measurable } f : X \longrightarrow \mathbb R\}$ es un átomo.

Yo ya demostró que para todo medible $f: X \longrightarrow \mathbb R$ se sigue que $f$ es constante en los átomos de $X$. Ahora tengo problemas en mostrar esto por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Supongamos $A \supseteq B \in \mathcal U$ $B$ no está vacía. Ahora podemos construir una función medible $$ f: X \to \mathbb{R}: y \mapsto \left \{ \begin{matrix} 1 & \text{ if } y \in B \\ 0 & \text{ if } y \not \in B \end{de la matriz} \right. $$ Esta función se puede medir, porque $B$ es medible. Ahora note que cualquiera de las $f(x) =1$ o $f(x) =0$, por lo que mediante la construcción de $A$ debemos tener $f^{-1}(0) =A$ o $f^{-1}(1) = A$. Desde $B \subset A$$f^{-1}(0) =X \setminus B$, debemos tener $f^{-1}(1) =A$. Pero, por supuesto, también tenemos $f^{-1}(1) =B$, lo que demuestra que el $A=B$.