Medico adjunto del operador, una condición para el intervalo cerrado

Question

Deje $X$ $Y$ dos espacios de Hilbert y $A\in\mathcal{L}(X,Y)$. Supongamos que hay un $\beta > 0$ tal que $$\inf_{z\ \in\ \text{Ker}(A)}\|x-z\|\ \leq\ \beta\|A(x)\|,\quad \forall\ x\in X.$$ Muestran que, $\text{R}(A) = \text{Im}(A)$ es cerrado.

---

Por favor, alguien puede ayudar con este problema? Traté de demostrar que $\text{R}(A) = \text{Ker}(A^*)^{\perp}$ a fin de demostrar que $\text{R}(A)$ está cerrada, pero yo realmente no sé cómo puedo usar el hecho de $\text{dist}(x, \text{Ker}(A)) \leq \beta\|A(x)\|$. Por favor, necesito algunos consejos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Considera bien definido operador lineal $$ \hat{A}: X/\operatorname{Ker}(A)\a Y:\hat{x}\mapsto Una(x) $$ Es limitado y tienen la misma imagen como $A$. Es suficiente para probar que $\hat{A}$ ha cerrado la imagen.

1. Desde $X$ es completa y $\operatorname{Ker}(A)$ es cerrado , a continuación, $X/\operatorname{Ker}(A)$ es completa. Tenga en cuenta que $Y$ también está completo.

2. La desigualdad en su pregunta preciesly significa que $\hat{A}$ está delimitado a continuación. Sólo recordar la definición del cociente de la norma.

3. Cualquier delimitada por debajo de operador entre espacios de Banach han cerrado gama.

De $1$, $2$, y $3$ se sigue que $\hat{A}$ han cerrado gama, y así no $A$. Tenga en cuenta que esta prueba válida para cualquiera de los espacios de Banach. Hilbertability es redundante en este caso.