Estoy estudiando el papel de "Local y simultánea de la estabilidad estructural de ciertos diffeomorphisms. - Marco Antonio Teixeira". En el comienzo del artículo, el autor da la siguiente definición
Además de esto, el autor afirma lo siguiente lema:
sin embargo, él no demuestra un resultado, simplemente diciendo: "el lema es fácil para la prueba".
Yo sé cómo encontrar una extensión $\omega:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ de $\left. \varphi \right|_{U}$ tal que $\varphi'(0) + \beta$ donde $\beta \in \mathcal C_b^0 (\mathbb{R}^2)$ es de Lipschitz con delimitada constante por $\varepsilon$. Sin embargo, no tengo la más remota idea de cómo garantizamos $\omega\circ \omega= \mathrm{Id}.$
Alguien me puede ayudar?
Cómo he construido la función de $\omega$
Definir $F= \varphi$ e $L = \mathrm{d} \varphi(0)$.
En primer lugar, elija un $\mathcal{C}^\infty$ función real $\beta:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la satisfacción de:
$\beta(x) = 0 $, $\forall$ $x$ $\in$ $\mathbb{R} \setminus [-1,1]$.
$\beta(x) =1$, $\forall$ $x$ $\in$ $ \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right].$
$\beta (x)$ es una función creciente en $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ e $\beta(x)$ es una función decreciente en $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.
Tenga en cuenta que, $\beta$ es de tamaño compacto $\mathcal{C}^\infty$, por lo que, no existe $M$ $\in$ $\mathbb{R}$, de tal manera que, $M = \sup \{|D\beta(x)|; \hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}\} $.
Definimos $\phi: U \rightarrow \mathbb{R}^2$ como $\phi(x) = F(x) - Lx$. Observe que la función de $\phi$ es $\mathcal{C}^\infty$, por otra parte, $D\phi(0) = 0$. Por lo tanto, para el número real $\widetilde{\varepsilon} = \min\left\{ \frac{\varepsilon}{2M} , \frac{\varepsilon}{2}\right\} > 0$ existe $1 \geq r >0$ tales que $$x \in B_r (0) \subset U \Rightarrow \Vert D\phi(x) \Vert < \widetilde{\varepsilon} $$ lo que implica, por el valor de la media theoream que, si $x \in B_r (0) \Rightarrow \Vert \phi(x) \Vert < \widetilde{\varepsilon}\Vert x\Vert $.
Ahora, considere la posibilidad de $\omega: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ se define como: $$\omega(x) = \left\{\begin{array}{l} Lx + \beta\left(\frac{\Vert x \Vert}{r}\right)\phi(x), \hspace{0.1cm} \text{if} \hspace{0.1cm} x \in U,\\ Lx, \hspace{0.1cm} \text{if} \hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^n \setminus U. \end{array} \right. $$
Por lo tanto, la definición de $r_1 = r$ e $r_2 = \frac{r}{2}$. Es fácil comprobar que
- $\omega = F$ en $B_{r_2} (0)$.
- $\omega = L$ fuera de $B_{r_1}(0)$.
- La función de $\alpha = G - L$ está delimitado por $\varepsilon$.
$\alpha$ es $\varepsilon$-Lipschitz.
Una vez $\omega = L +\alpha$, se construyó la ampliación, sin embargo $\omega \circ \omega $ no es necesariamente igual a $\mathrm{Id}$.
