Algunas preguntas acerca de los Valores propios de esta $4\times 4$ matriz

Question

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

El rango es $1$ como sólo hay $1$ linealmente independientes de la fila. La respuesta se indica que los cuatro Autovalores son $0,0,0,4$.

El $4$ proviene de la matriz de seguimiento $1+1+1+1$ sin embargo tengo ni idea de donde los tres ceros? La respuesta no ofrece esa información. Sé el determinante de la matriz es $0$.

• Así hay siempre como muchos de los Autovalores como hay filas($n$ muchos Autovalores)?
• Puede alguien arrojar luz sobre el lugar de los tres ceros vienen.

Answer 1

Una $n$ $n$ matriz siempre ha $n$ autovalores (si se incluye la repetición). Si sabemos que el rango es $r$ al menos $n-r$ autovalores debe ser cero.

Ya que el rango es $1$, debe haber al menos $3$ cero autovalores.

Answer 2

Claramente $(1,1,1,1)^T$ es un autovector, y $4$ es su valor propio, no en particular a causa de la traza (la traza de una matriz no tiene que ser un autovalor), pero debido a $(1,1,1,1)^T$ hace $4\cdot(1,1,1,1)^T$ cuando se multiplica por la matriz.

$0$ también es un autovalor, por ejemplo, con autovector $(1,-1,0,0)^T$. ¿Por qué hay tres ceros. Hay dos posibles explicaciones, y sin más, el texto podría significar cualquiera de ellos:

Algebraicamente, hay tres ceros debido a que $\lambda=0$ es una triple raíz del polinomio característico.

Geométricamente, hay tres ceros debido a que el espacio propio para el autovalor $0$ es de tres dimensiones. Por ejemplo, se está cruzado por $(1,-1,0,0)^T$, $(1,0,-1,0)^T$ y $(1,0,0,-1)^T$.

En este caso, el algebraico y geométrico de vista conduce a la misma cuenta, pero esto no es siempre el caso-la multiplicidad geométrica de un autovalor puede ser menor que el algebraicas.