Localmente completar intersección en una fibra de

Question

Sea Y un afín noetherian esquema, $Z = V_+(F_1, \ldots, F_r)$ cerrado subscheme de $\mathbb{P}^d_Y$ que es plana por Y. Deje $y_0 \in Y$ ser un punto tal que $Z_{y_0}$ es una completa intersección en $\mathbb{P}^d_{k(y_0)}$. Set $r = dim Z_{y_0}$. Estoy tratando de mostrar que esto implica que hay una vecindad V de Y tal que para todos los $y \in V$tenemos que $Z_y$ es una completa intersección en $\mathbb{P}^d_{k(y)}$ de la dimensión de $r$ por cada $ y \in V$. Yo no estoy teniendo suerte aquí, sin embargo. He intentado lo siguiente:

1. Mira el caso de $r=2$, y mostrar que hay. Aquí todavía no hay suerte, y los métodos que pensé fue bastante feo. Una era intentar considerar $(F_2)/rad(F_1)$ a como una especie de quasicoherent gavilla y mostrar algo sobre el soporte. No trabajo sin embargo.
2. Tratando solamente de invertir los coeficientes de los polinomios en $F_i$. Sin embargo, yo no podía mostrar que la inversión de ciertos coeficientes (los coeficientes de $F_i$ no de fuga en $y_0$) dieron un local completo de intersección.

Cualquier sugerencias o soluciones son bienvenidos!

Answer 1

Esto es sólo un comentario, no una respuesta completa. Espero que ayude un poco en su camino.

Deje $Y$ ser afín noetherian esquema, y $y_0$ a regular el punto de $Y$ tal que codim $y_0 =1$. Deje $Z\to Y$ ser un piso de morfismos de los esquemas que $Z_{y_0}\to $ Espec $k(y_0)$ es una completa intersección. A continuación, podemos utilizar la Proposición 2.1.12 en Olivier Benoist tesis; ver http://www-irma.u-strasbg.fr/~benoist/artículos/Thesefinale.pdf ver que $Z\to Y$ es una completa intersección sobre el anillo local $\mathcal O_{Y,y_0}$$y_0$.

De hecho, Benoist demuestra que, desde el $T= $ Espec $\mathcal O_{Y,y_0}$ es un discreto anillo de valoración (por la regularidad y codimension supuestos en $y_0$), el esquema de $Z_T:= Z\times_Y T$ es una completa intersección $T$, y, además, que las ecuaciones para la $Z_{y_0}\to $ Espec $k(y_0)$ levantar a las ecuaciones de $Z_T\to T$. (Aquí se utiliza, que no es un canónica de morfismos $T\to Y$.) En realidad, probablemente no hace falta la segunda parte de el resultado de Benoist para responder a su pregunta, pero es bueno tener en cuenta.