Natural cubic spline de interpolación de estimación del error de

Question

Estoy buscando un error de estimación natural (una con $s''(a) = s''(b) = 0$ condiciones de contorno) cubic spline de interpolación en un uniformemente espaciado de la cuadrícula. El mejor resultado que he encontrado es $O(h^2)$ sin ninguna aclaración de lo que la constante real en $O(\cdot)$ es. Intuitivamente, el error debe tener la forma de $$\max_{x\in[a,b]}|f(x) - s(x)| < Ch^2 \max_{x\in[a,b]}|f''(x)|,$$ tal vez con algunos términos de orden superior de $O(h^4)$ magnitud.

UPD. @Alex-ravsky sugirió podemos considerar $g(x)$ tal que $g''(a) = g''(b) = 0$$g(x_i) = f(x_i)$. Así $$ |f(x) - s(x)| \leqslant |f(x) - g(x)| + |g(x)-s(x)| \leqslant |f(x)-g(x)| + \frac{5}{384}h^4 \max |g^{(4)}(x)| $$ No obstante, la estimación $|f(x)-g(x)|$ no es obvia. $\varepsilon(x) \equiv f(x)-g(x)$ se desvanece en cada nodo $x_i$, y ha conocido las segundas derivadas en los extremos de $\varepsilon''(a) = f''(a), \varepsilon''(b) = f''(b)$.

Se puede estimar $\max_{x\in[a,b]} |\varepsilon(x)|$ $$ \max |\varepsilon(x)| \leq |f"(a)| \max_{x\in[a,b]} |\eta_L(x)| + |f"(b)| \max_{x\in[a,b]} |\eta_R(x)| = \left(|f"(a)| + |f"(b)|\right) \max_{x\in[a,b]} |\eta(x)|, $$ donde $\eta(x)$ es un spline de satisfacciones $$ \eta(x_i) = 0,\quad \"de eta(a) = 1, \quad \"de eta(b) = 0. $$ Pero no es obvio cómo hacer la estimación en $\max_{x\in[a,b]} |\eta(x)|$.

Answer 1

Parece que el siguiente.

Creo que una pregunta clave es: ¿a qué distancia de cero puede ser una función de $f$ a que el cero aproximación? La respuesta depende, por que las características de las $f$ le unía a su norma $\|f\|=\max_{x\in [a,b]} f(x)$. Por ejemplo, supongamos que $a=x_0<x_1<...<x_m=b$, $f\in C^2[a,b]$ (o satisface algunos de los más débiles de la suavidad de las condiciones), $f"(a)= f"(b)=0$ $f(x_i)=0$ por cada $i$. Deje $h=\max|x_{i+1} – x_i|$. No pueden ser las siguientes condiciones impuestas a los derivados de la función de $f$.

1. $\|f'\|= A$. A continuación,$\|f\|\le Ah/2$.
2. $\|f''\|= A$. A continuación,$\|f'\| \le A(b-a)/2$, y por lo $\|f\|\le Ah(b –a)/4$. Pero parece que se puede obtener un atado $\|f\|\le Ah^2/4$.
3. $\|f'''\|= A$. Entonces ...