Encontrar la dimensión y una base de un espacio ortogonal

Question

Estoy tratando de encontrar la base y las dimensiones del espacio ortogonal $S$$\mathbb R^3$.

$$S = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$$

Por lo que la dimensión dos, porque es $3 - 1$.

El problema que estoy teniendo es encontrar la base. Lo volvería a hacer

$$ 1x+2y+3z = 0$$

Que me daría una base diferente. Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Sólo se necesita encontrar dos vectores $[x~y~z]^T$ que satisface $1x+2y+3z=0$.

Por ejemplo, vamos a $x_1=-3, y_1=0,z_1=1$, $\Rightarrow [x_1~y_1~z_1]^TS=-3\times 1+0\times 2+3\times 1=0$, también vamos a $x_2=2, y_1=-1,z_1=0$,$[x_2~y_2~z_2]^TS=2\times 1+(-1)\times 2+3\times 0=0$.

Por lo tanto,$\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}$, e $\begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}$ son dos vectores, porque ellos también son independientes:

si $\alpha\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}=0$, luego $\begin{bmatrix}-3\alpha\\0\\\alpha\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\beta\\-\beta\\0\end{bmatrix}=0$ , $$\Rightarrow \begin{bmatrix}-3\alpha+2\beta\\-\beta\\\alpha\end{bmatrix}=0$$, which implies $\alpha=\beta=0$

Answer 2

Así, la ecuación de $1x+2y+3z=0$, de hecho, dice que el producto interior de vectores $S$$(x,y,z)^T$$0$, es decir, son ortogonales.

Así que estamos buscando una base entre sus soluciones: por ejemplo, usted puede tomar $y=1,\ z=0$ $y=0,\ z=1$ y calcular el $x$'s para ellos.