Integral de convolución problema

Question

En el proceso de resolución de un determinado PDE, he llegado a una integral de convolución:

$$\int_{\mathbb{R}^3} G(x-y) \nabla p(y) dy$$

donde $x \in \mathbb{R}^3$, $G(z)=\frac{1}{\| z \|}$ y $p(z) = \frac{z_1}{\| z \|^3}$. Tenga en cuenta que $G$ $p$ ambos desaparecen en $\infty$. Para evitar este cálculo de la pendiente, el yo integrado por partes, moviendo la $y$ derivado a $G$. El cómputo de la adecuada derivados y el uso de la fuga en $\infty$, me sale

$$\int_{\mathbb{R}^3} \frac{x-y}{\| x - y \|^3} \frac{y_1}{\| y \|^3} dy.$$

No estoy seguro de dónde ir desde aquí. Si esto ayuda, ya sé el resultado final de otra fuente que está utilizando una derivación distinta que no entiendo. Al final, tengo que llegar

$$\frac{2 \pi x}{\| x \|^3} x_1.$$

Answer 1

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, nº 1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Tenga en cuenta que $\ds{\,{\rm p}\pars{y}}$ puede ser escrito como $\ds{\,{\rm p}\pars{y} = -\,\partiald{}{y_{1}}{1 \over \norm{y}}}$

A continuación, \begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm G}\pars{x - y}\nabla\,{\rm p}\pars{y}\,\dd y} =-\int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm p}\pars{y}\nabla\,{\rm G}\pars{x - y}\,\dd y \\[5mm]&=\int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm p}\pars{y}\nabla_{x} \,{\rm G}\pars{x - y}\,\dd y =\nabla_{x}\int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm p}\pars{y}\,{\rm G}\pars{x - y}\,\dd y \\[5mm]&=-\nabla_{x}\bracks{\int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm G}\pars{x - y} \pars{\partiald{}{y_{1}}{1 \over \norm{y}}}\,\dd y} =\nabla_{x}\bracks{\int_{{\mathbb R}^{3}}{1 \over \norm{y}}\, \partiald{\,{\rm G}\pars{x - y}}{y_{1}}\,\dd y} \\[5mm]&=-\nabla_{x}\bracks{\int_{{\mathbb R}^{3}}{1 \over \norm{y}}\, \partiald{\,{\rm G}\pars{x - y}}{x_{1}}\,\dd y} \end{align}

$$ \color{#66f}{\large% \int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm G}\pars{x - y}\nabla\,{\rm p}\pars{y}\,\dd y} =-\lim_{d\ \para\ \infty}\nabla_{x}\partiald{}{x_{1}}\bracks{% \int_{{\mathbb R}^{3} \cima \norma de{y}\ <\ d\ >\ \norma{x}}{\,{\rm G}\pars{x - y} \over \norma de{y}}\,\dd y} $$

\begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm G}\pars{x - y}\nabla\,{\rm p}\pars{y}\,\dd y} \\[5mm]&=\!\!-\!\!\lim_{d\ \to\ \infty}\!\!\nabla_{x} \partiald{}{x_{1}}\bracks{% \int_{0}^{\norm{x}}{1 \over \norm{y}}\,{1 \over \norm{x}}\,4\pi\norm{y}^{2}\,\dd\norm{y} +\int_{\norm{x}}^{d}{1 \over \norm{y}}\, {1 \over \norm{y}}\,4\pi\norm{y}^{2}\,\dd\norm{y}} \\[5mm]&=-4\pi\lim_{d\ \to\ \infty}\nabla_{x}\partiald{}{x_{1}}\bracks{% \half\,\norm{x} + d - \norm{x}} =2\pi\,\nabla_{x}\partiald{\norm{x}}{x_{1}} =2\pi\,\nabla_{x}{x_{1} \over \norm{x}} \\[5mm]&=2\pi\pars{% {\nabla_{x}x_{1} \over \norm{x}} + x_{1}\nabla_{x}{1 \over \norm{x}}} =2\pi\bracks{{\hat{x}_{1} \over \norm{x}} + x_{1}\pars{-\,{1 \over \norm{x}^{2}} \,{x \over \norm{x}}}} =2\pi\,{\norm{x}^{2}\,\hat{x}_{1} - x_{1}x \over \norm{x}^{3}} \end{align}

$$ \color{#66f}{\large% \int_{{\mathbb R}^{3}}\,{\rm G}\pars{x - y}\nabla\,{\rm p}\pars{y}\,\dd y} =\color{#66f}{\large% 2\pi\,{x_{\asesino}^{2}\,\hat{x}_{1} - x_{1}x_{\asesino} \over \norma{x}^{3}}}\,,\qquad x_{\asesino} \equiv x_{2}\,\hat{x}_{2} + x_{3}\,\hat{x}_{3} $$