¿Cómo es que $e^{ \pi i}$ igual $-1$

Question

Yo estaba en xkcd hace un tiempo y estaba la ecuación $e^{ \pi i}$ que de alguna manera milagrosamente iguala $-1$ . Así que, lo puse en Google y funciona. Así que, intenté resolverlo por mi cuenta:

$ \begin {align} e^{ \pi i} &= -1 \\ \ln e^{ \pi i} &= \ln (-1) \\ \pi i \times \ln e &= \ln (-1) \\ \pi i \times 1 &= \ln (-1) \\ \pi i &= \ln (-1) \end {align}$

Pero eso es lo más lejos que puedo llegar como $ \ln (-1)$ da Error en mi calculadora. Entonces, ¿cómo es que $e^{ \pi i} = -1$ (simplificado a $ \pi i = \ln (-1)$ ) trabajo?

Answer 1

Esta es una prueba interesante que puede haber visto.

Definamos

$$e^x := \sum_ {n=0}^ \infty \frac {x^n}{n!}$$

Luego \begin {alineado}e^{i \pi } &= \sum_ {n=0}^ \infty \frac {(i \pi )^n}{n!} \\ &= 1+i \pi - \frac { \pi ^2}{2}- \frac { \pi ^3}{3!} + \cdots\\ &= \left (1- \frac { \pi ^2}{2}+ \frac { \pi ^4}{4!}+ \cdots\right ) + i \left ( \pi - \frac { \pi ^3}{3!}+ \frac { \pi ^5}{5!}+ \cdots\right ) \\ \\ &= \cos \pi +i \sin \pi \\ \\ &= -1 \end {alinear}

Este método puede generalizarse para mostrar la identidad de Euler, $e^{i \theta }= \cos \theta +i \sin\theta $ . A partir de esto encontramos que $e^z$ es en realidad una función periódica sobre $2 \pi i$ y debido a esto, se deduce que $ \log z$ como el inverso de $e^z$ debe ser multivaluado (porque, $e^{i \theta } = e^{i \theta +2 \pi i}=e^{i \theta -2 \pi i}= \cdots = e^{i \theta +2 \pi i n}$ donde $n \in \mathbb Z$ ).

Answer 2

$e^{ \pi i}$ corresponde a $z = (-1, 0) = -1$ en el círculo de la unidad en el plano complejo.

Es decir, está posicionado $ \pi = 180^ \circ $ desde la posición (1, 0) en el círculo de la unidad compleja. No tiene "altura" en la dirección de $i$ o $-i$ .

De $e^{ \pi i} = -1$ obtenemos La identidad de Euler : $e^{ \pi i} + 1 = 0$ .

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De hecho, una de las cosas sorprendentes es que $e$ y $ \pi $ tienen mucho que tienen que ver con el otro:

Por ejemplo, véase La fórmula de Euler : $ \quad e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin \theta $ .

Así que $e^{ \pi i} = \cos { \pi } + i \sin { \pi } = -1 + (i \times 0)$ .

Una imagen visual puede ayudar a dar sentido a la fórmula de Euler y $e^{ \pi i}$ :

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Si realmente quieres seguir con esta pregunta, y cómo Euler llegó a su fórmula, puedes tomar lo siguiente desafío :

Intenta computar la expansión de Taylor ( Serie Maclaurin ) de $e^{ \pi i}$ y ver que es igual a la suma de las expansiones de Taylor (Maclaurin) de $ \cos { \pi }$ y $i \sin { \pi }$ . Ambos suman $-1$ ! O si eres perezoso, puedes mirar a Wikipedia

AMBOS $e$ y $i$ son fascinantes, porque "aparecen" casi en todas partes en las matemáticas, la física y muchos otros campos. Para más formas de representar $e$ miren esta lista .

Answer 3

Primero tienes que entender por qué para un número complejo $z$ , $z = x + iy$ y $z = r e^{i \theta }$ -- donde $x = r \cos \theta $ y $y = r \sin \theta $ -- son equivalentes. De eso, $e^{ \pi i \left (1+2n \right )} = -1$ y $ \ln \left (-1 \right ) = \pi i \left (1 + 2 n \right )$ seguir para $n$ entero.

Para ver al primero, sustituya $r=1$ y $ \theta = \pi\left (1+2n \right )$ en $r e^{i \theta } = r \cos \theta + i r \sin \theta $ .

Para ver esto último, toma $ \ln $ del resultado $e^{ \pi i \left (1+2n \right )} = -1$ o tomar $ \ln $ de $z = e^{i \theta }$ : $$ \ln z = \ln r e^{i \theta } = \ln r + i \theta. $$ Con $z = -1$ , $r = 1$ y $ \theta = \left (1+2n \right )$ y $$ \ln \left (-1 \right ) = \pi i \left (1+2n \right ). $$

Answer 4

$ \pi $ es de 180 grados.

-1 está a 180 grados de distancia de 1, alrededor del origen del plano complejo.

$e^{0i}$ es 1.

$e^{ \theta i}$ es un punto en el círculo de unidad alrededor del origen del plano complejo determinado por el ángulo $ \theta $ en radianes. Así que si $ \theta = \pi $ tenemos -1.

La compleja exponenciación con otras bases es también una rotación alrededor del círculo de la unidad. Por ejemplo $5^{ \phi i}$ también traza un círculo a medida que variamos $ \phi $ . Sin embargo, para esas otras bases, $ \phi $ aunque un ángulo, no es un ángulo medido en radianes, y por lo tanto $5^{ \pi i}$ no es -1.

La correspondencia entre los radianes y el coeficiente es sólo en el caso de $e$ .

$e$ es un número especial que está intrínsecamente conectado al número especial $ \pi $ de múltiples maneras.

Answer 5

Aquí hay dos maneras de ver esto.

Considere la función $f( \theta )=e^{i \theta }$ . Luego $f''( \theta )=-f( \theta )$ . Las ecuaciones diferenciales nos dicen que cualquier solución de este tipo es una combinación lineal de $ \sin ( \theta )$ y $ \cos ( \theta )$ El Wronskiansk nos dice que $f, \sin (x), \cos (x)$ son linealmente dependientes, mientras que $ \sin (x), \cos (x)$ son linealmente independientes].

Así, $f( \theta )=A \cos ( \theta )+ B \sin ( \theta )$ para algunos $A,B$ . Configuración $ \theta =0$ Rendimientos $A=1$ y derivar y establecer $ \theta =0$ Rendimientos $B=i$ .

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Segundo enfoque

Deje que $f(x,y)=e^x ( \cos (y)+i \sin (y))$ .

Luego $f(z_1+z_2)=f(z_1)f(z_2)$ y $f$ es continua. Por lo tanto, $f$ es una función exponencial. Desde $f(1)=e$ tenemos que $f(z)=e^z$ .

Nota $f(z)$ satisface la condición de las ecuaciones de CR, y es $C_1$ por lo tanto, es analítico. Por lo tanto, es la única extensión analítica de $e^x$ al plano complejo.