Cómo probar este límite?

Question

Tengo:

$$V_n = \dfrac{1}{2^{n+1}} \cdot\dfrac{\sin{2x}}{\sin{\dfrac{x}{2^n}}}$$

¿Cómo puedo yo, usando $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1$, probar que:

$$\lim_{x \to +\infty} V_n = \dfrac{\sin{2x}}{2x}$$

He pensado en decir que $h = \dfrac{x}{2^n}$, pero yo no puedo ir a trabajar

Answer 1

Si $h(n)=\frac{x}{2^n}$, $$V_n = \frac{h}{2x}\frac{\sin 2x}{\sin h}$$

Ahora creo que debe ser capaz de trabajar por su cuenta, ya que se puede separar las partes wher $x$ está apareciendo y las partes donde no lo es.

Answer 2

Usted puede escribir la ecuación

$$V_n = \dfrac{2x}{2^{n+1}} \dfrac{1}{\sin{\dfrac{x}{2^n}}} \dfrac{\sin{2x}}{2x}$$ $$ = \dfrac{1}{\frac{\sin{\dfrac{x}{2^n}}}{\dfrac{x}{2^{n}}}} \dfrac{\sin{2x}}{2x}$$

Frome aquí debe ser fácil para mostrar lo que usted solicitó, como $\frac{x}{2^n} \rightarrow 0$$n \rightarrow \infty$.