Encuentra $\lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{x}{x^2+1}\cdot e^{x})$

Question

Lo intenté:

$\lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{x}{x^2+1}\cdot e^{x}) = \frac{1}{x^2+1} \cdot e^xx = 0 \cdot \infty = 0$

Pero esto está mal. ¿Qué hice mal? ¿Cómo resuelvo esto?

Answer 1

Estás incorrecto, ya que $0 \times \infty \neq 0$. Es indeterminado.

Nota que como $e^t \ge t+1$ para todo $t$, tenemos que $e^{\frac{x}{2}} \ge \frac{x}{2}+1$. Elevando ambos lados al cuadrado, obtenemos que $$e^{x} \ge \frac{x^2}{4}+x+1>\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4} $$ Por lo tanto, nota que $$\frac{x}{x^2+1}e^x > \frac{x}{x^2+1} \times \left( \frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\right)=\frac{x}{4}$$ Entonces $$\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x^2+1}\cdot e^{x}\right) \ge \lim_{x \to \infty}\frac{x}{4}$$ Sin embargo, puedes ver que el límite a la derecha tiende a infinito. Por lo tanto, tu límite también tenderá a infinito.

Answer 2

CONSEJO:

$$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\ge \frac{x^2}{2!}$$for $x\ge 0$

Answer 3

El error más grande en tu trabajo es asumir que $0 \cdot \infty = 0$. De hecho, es una forma indeterminada, por lo que la respuesta no es tan simple.

Una forma de calcular esto sería $$\lim_{x\to\infty} \frac{x e^x}{x^2+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x+\frac{1}{x}}$$ $$\geq \lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x+1}$$ $$=\infty$$

Dado que $\frac{1}{x}\leq1$, y la función exponencial domina cualquier polinomio.

Answer 4

Una ligera diferencia enfoque al S.C.B es tener en cuenta que $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$ y así (de manera informal) reemplazar la potencia de e en tu límite y volver a tomar el límite da como resultado un numerador cúbico y un denominador cuadrático. Ahora $x$ tiende a infinito, por lo que...

Answer 5

A diferencia del bien conocido límite estándar $$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = 1$$ la siguiente propiedad de la función exponencial no es tan popular/anunciada: $$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0, n \in \mathbb{R}$$ Es precisamente este resultado particular el que necesitamos aquí. Tenemos $$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x^{2} + 1}\cdot e^{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\cdot\frac{e^{x}}{x} = \infty$$