Cómo solucionar $f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)$?

Question

Otro funcional de la ecuación:

Encontrar todos los surjective funciones de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que para todos los $x,y\in\mathbb R$ satisface: $$f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)$$ Yo no podía hacer ningún progreso, porque yo no sabía cómo utilizar el surjectivity. Cómo resolverlo?

Answer 1

Deje $P(x,y)$ ser la afirmación de $f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)$ y deje $a\in\mathbb R$ ser tal que $f(a)=0$. $$P(a,a): espacio\f(2a)=0\\ P(a,y): espacio\f(2f(y)+a)=f(2y)\implica\\ P(x,y): espacio\f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2f(y)+a)$$ Desde $f$ es surjective, podemos sustituir el $f(y)$ $y$ y que la afirmación de que todavía tiene para todos los $y\in\mathbb R$: $$P(x,y): espacio\f(x+f(x)+2y)=f(2x)+f(2y+)\implica\\ P\left(2a,\frac{1}{2}\right): f(3a)=0\\ P\left(x,-\frac{1}{2}f(x)\right): espacio\f(x)=f(2x)+f(-f(x)+a)=f(2f(x)+a)+f(-f(x)+a)\implica\\ x=f(2x+a)+f(-x+a)$$ La última implicación es debido una vez más a surjectivity. Además, con $x=a$, obtenemos $a=f(0)$. Ahora, nos fijamos en la ecuación original con $x=y=0$: $$f(3f(0))=2f(0)\implica a=f(0)=0$$ Por lo tanto, $x=f(2x)+f(-x)$ e con $y=-\frac{1}{2}x$ $f(x+f(x)+2y)=f(2x)+f(2y+a)$ obtenemos $f(f(x))=f(2x)+f(-x)=x$. Por lo tanto, $f$ es inyectiva. Ahora, con $y=0$, $f(x+f(x))=f(2x)\implies f(x)=x$ y hemos terminado.