Fórmula de homotopía de Cartan y rizo

Question

En Métodos topológicos en hidrodinámica V. I. Arnol'd escribe que la siguiente expresión $$curl(\mathbf a \times \mathbf b)=[\mathbf a, \mathbf b]+ \mathbf a \ div \ \mathbf b - \mathbf b \ div \ \mathbf a$$

podría obtenerse "aplicando repetidamente" la fórmula de homotopía de Cartan $$L_v = i_vd+di_v$$

Y (en otro libro) añade algunas pistas:

• $i_{curl(\mathbf a \times \mathbf b)}\tau = di_{\mathbf a} i_{\mathbf b}\tau$
• $div \ \mathbf a = di_{\mathbf a} \tau$
• $[\mathbf a, \mathbf b] = L_{\mathbf a} \mathbf b$

(donde $\mathbf a, \mathbf b$ son dos vectores en $R^3$ , $i$ es el producto interior, y $\tau$ el elemento de volumen).

La verdad es que no sabía cómo proceder. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Aplicar (enchufar mediante el operador $i$ ) ambos lados a una forma de volumen 3 $\tau$ . La igualdad de los campos vectoriales en ambos lados equivale a la igualdad de las 2 formas obtenidas.

A la izquierda tenemos $i_{curl(a\times b)}\tau= di_b i_a \tau$ (nótese el orden: campo vectorial $a$ se enchufa primero).

A la derecha se utiliza primero la fórmula del cálculo de Cartan $$ i_{[a,b]}\tau=[i_b, L_a]\tau = i_b L_a \tau - L_a i_b\tau = i_b d i_a\tau - di_a i_b\tau -i_a d i_b\tau $$ (nota que $d\tau = 0$ ).

Desde $L_b\tau = ({div}\,b)\tau$ tenemos $i_{a\, {div}\, b}\tau = i_a(L_b\tau)= i_a d i_b\tau$ y de forma similar para $i_{b\, {div}\, a}\tau = i_b d i_a\tau$ . Por lo tanto, la multiplicación interna de $[a,b]+ a\, {div}\, b - b\, {div}\, a$ a la 3ª forma $\tau$ es $$ i_b d i_a\tau - di_a i_b\tau -i_a d i_b\tau + i_a d i_b\tau - i_b d i_a\tau = - di_a i_b\tau, $$ lo que demuestra la fórmula.