En general se habla de las funciones de los operadores se definen como espectral funciones, haciendo uso del teorema espectral de la maquinaria.
Los enfoques de la base de la alimentación de la serie por lo general no han una rigurosa base: Incluso las identidades como $$e^A = \sum_n \frac{1}{n!}A^n$$ are generally false if $Una$ es un unbounded operador.
Sin embargo, en la mayoría de los físicos relevantes de los casos, algunos de los resultados obtenidos por el formal (no riguroso) manipulaciones pueden ser obtenidos siguientes alternativas rigurosas.
Sin embargo, el caso de que usted está considerando es muy fácil. Supongamos que $F$ es un liso, generalmente no analítica, de valores complejos de la función delimitada por algunos polinomio de $\vec{x}$.
En este caso, ambos $F(\vec{x})$ $p_i$ admite el espacio de Schwartz funciones de ${\cal S}(\mathbb R^3)$ como invariante en el espacio, de modo que $[p_i, F(\vec{x})]\psi$
está bien definido para $\psi \in {\cal S}(\mathbb R^3)$. En ese espacio de $p_i$
coincide a $-i \hbar\frac{\partial}{\partial x_i}$. Por cálculo directo:
$$[p_i, F(\vec{x})]\psi = -i \manejadores\frac{\partial}{\partial x_i} F(\vec{x}) \psi(x) + i \manejadores F(\vec{x})\frac{\partial \psi}{\partial x_i}= -i\manejadores
\frac{\partial F}{\partial x_i} \psi\:.$$
Hemos obtenido que
$$\left([p_i, F(\vec{x})] + i\manejadores
\frac{\partial F}{\partial x_i} \right) \psi =0 \quad \forall \psi \in {\cal S}(\mathbb R^3)\:.$$
En otras palabras, al menos en el dominio ${\cal S}(\mathbb R^3)$:
$$[p_i, F(\vec{x})] = -i\manejadores
\frac{\partial F}{\partial x_i} $$
En general, esta identidad se mantiene en dominios más grandes y, de hecho, se puede extender la explotación de algunos más saben de la propiedad de $F$ y algunas otras propiedades como el hecho de que $\cal S(\mathbb R^3)$ es un núcleo de $p_i$...
Uno podría suponer más débil de la hipótesis. La auto-adjointness dominio de $p_j$ está hecha así.
$$D(p_j) := \{\psi \in L^2(\mathbb R^3)\:|\: \exists\: w\mbox{-}\partial_{x_j}\psi \in L^2(\mathbb R^3)\}$$
donde $w\mbox{-}\partial_{x_j}\psi$ denota la débil parcial $j$-derivado de la $\psi$. En ese dominio $p_j = w\mbox{-}\partial_{x_j}$ como se esperaba.
Si $F$ es, por ejemplo, $C^1$ y de forma compacta compatible, por encima de todo razonamiento puede ser re-aplicado con $\psi \in D(p_j)$, obteniendo exactamente el mismo resultado, con el hecho de que el débil derivado de un compacto respaldado $C^1$ función de $F$ coincide con el estándar.
