Cualquiera de los dos $A$-módulos de la misma dimensión en el $k$ isomorfo como $A$-módulos?

Question

Deje $A$ ser una central de simple $k$-álgebra. Son dos $A$-módulos de la misma dimensión en el $k$ isomorfo como $A$-módulos?

Answer 1

Sí, lo son.

$A$ es un simple Artinian anillo. Por lo tanto, hasta isomorfismo, un único derecho simple, $A$- módulo de $S$ y cada una de las $A$-módulo es isomorfo a una suma directa de $S^{(I)}$ para un conjunto de índices $I$. Por otra parte, el módulo de $S$ tiene algunos de dimensión finita $n$$k$. (Explícitamente, $A$ es isomorfo a $M_r(D)$ por un anillo de división $D$ que es finito-dimensional sobre $k$. El simple módulo de $S$ entonces es isomorfo a $D^r$ visto como derecho $M_r(D)$-módulo de forma natural.)

Ahora supongamos que $M$ $N$ dos $A$-módulos con $\dim_k(M)=\dim_k(N)$. A continuación, $M \cong S^{(I)}$ $N \cong S^{(J)}$ para el índice de conjuntos de $I$$J$. Desde $\dim_k (M) = n |I|$$\dim_k(N) = n |J|$, se deduce que el $|I|=|J|$. Por lo tanto,$M \cong N$.